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阅读笔记:无标度布尔网络的动态

已有 6926 次阅读 2011-10-31 00:46 |个人分类:comments|系统分类:科研笔记| 网络, 模型, 无标度, 布尔

刚刚读完 Maximino Aldana在2003年写的Boolean dynamics of networks with scale-free topology一文(DOI:10.1016/S0167-2789(03)00174-X)。之前学习到了Stuart Kauffman关于网络系统动态的attractor理论。后来又接触到Albert-László Barabási的无标度(scale free)网络的概念,并了解到这种网络拓扑的普遍性与很多有趣的性质。想着两者有些什么结合点,就搜到了这篇论文。徐磊同学建议我写个读书笔记,我也正有此意,但水平太有限,就先来个流水帐吧。

1. Kauffman最初的理论是建立在随机布尔网络模型之上的。“随机”的意思:对于一个包含N个节点的网络,每个节点所拥有的连接数k是随机的,并被赋予一平均值K(因此k符合泊松分布),此网络模型也常被称为N-K模型。“布尔(Boolean)”的意思:对于某个节点,其状态有且仅有“开ON”和“关OFF”两种可能状态,每个节点在某时刻所处的状态的总和被定义为此时整个网络所构成的系统的状态(configuration)。节点之间通过连接而相互调控,因此每个节点的状态可能随时间而变。对于系统整体而言,如果其在某个时间之后就一直停留在某个状态,或者在几个状态之间来回跳转,则称为其陷入了某个attractor。对于任一给定系统,其拥有多少个可能的attractors,这个问题只有在K为1或者正无穷时已经有解。当K取其它值时,当前的计算能力还不足以精确回答这个问题。(既然这是2003年的论文,那么今天也许已经有更多进展,但我还没读到。)

2. 在N-K网络模型中,除了N与K之外,还有一个参数P,表示每个节点被相关的k个其它节点调节之后,状态为ON的概率。1-P当然就是它状态为OFF的概率。这一点我很疑惑:如果完全知道了每个节点是如何被那k个节点所控制的,那还要P干什么呢?P在这里应该是包含或者替代了那些信息,用于简化计算和建模。但是我没能完全理解,还需要找文献学习一下。

3. 虽然很多问题没有清晰的解,但是目前已经搞清楚,在随机的布尔网络模型中,当平均连接数K<2时,系统处于Ordered phase(有序态),K>3时,系统处于Chaotic phase(无序态?混沌态?还不知道怎么翻译),当K处于2-3之间时,系统处于Critical phase(临界态?)。所谓Ordered phase就是说,系统有几个attractors是确定的(一般只有一个或者很少的几个),而且令系统处于任一随机状态,系统都能经过极少的几步变化,进入attractor状态。所谓Chaotic phase就是说,系统的attractor数目是不确定的(可能很多,也可能为0),而令系统处于任一随机状态,系统状态都要经历很多步才能进入某一个attractor,甚至永远都不会固定下来。而Critical phase则处于这二者之间。用描述性语言不太容易定义什么是critical phase,但在模型中,令K取在2到3之间的某个值就足矣。一般性的结论是:K越大,网络越倾向于处于无序态。

4. 很多研究表明,比起随机网络,无标度网络更接近许多真实的网络。也就是说,任一节点所拥有的连接数不再符合泊松分布,而是符合幂律分布。那么在无标度网络中,网络参数要如何配置才能让系统分别处于这三种状态呢?本文的核心结论是,与随机网络一样,平均连接数K越大,网络越倾向于处于无序态。但在无标度网络中,K几乎是一个无意义的参数,因此换用无标度指数γ来评价网络的性质。γ<1时无意义,γ处于1和2之间时,对应于K>3。γ处于2和~2.5之间时,对应于2<K<3。γ>2.5时,对应于K<2。(当K或者γ刚好等于这些值时的情况没搞清。其中的计算过程没有完全看懂,但思路还算是理解了。

5. 对一给定节点数N的网络,除了其可能的attractors数目之外,其实有很多用于评价网络性质的指标。比如每个attactor包含了几个系统状态(the length,是1个还是互相变来变去的几个),其变异范围如何;任一系统状态要变几步才能落入某个attractor(transient time);任一状态有几个precursors;对于任两个不同的系统状态,其最终落入同一个attractor的可能性;对于任一节点,对其进行随机攻击,系统的最终状态因此而受到改变的可能性;…… 这些指标应该说是通用的,在其他研究中也用得到。

6. 就以上这些指标而论,无标度网络与随机网络这两种构型,在系统动态的特征上都很相似。这意味着基于N-K网络的许多结论也同样适用于scale-free网络。然而

7. Kauffman曾经专门考虑过生命系统应当是什么样子的。他认为,由基因调控网络构成的生命系统,其独特之处在于,既能长时间处于某些稳定态,又具有可变性,能从一个稳定态走出来,滑向另一个稳定态。对于N-K网络而言,一个系统如果既能保持一定的有序性,又具有某种程度的可变性,就只能处于ordered 与chaotic两种phases之间,也就是所谓的critical phase,临界态。这也是他的书名“Life at the edge of chaos”的由来。但是,本文作者认为,如果说生命系统大多是由无标度网络组成的,那么就不必非要处在这个临界点。它们只要处于有序态就可以了。在有序态下,只要对那些K值最大的(也就是拥有最多连接数的)节点进行操纵,就可以赋予系统以可变性。我个人认为,本文作者的观点有待商榷,将系统的可变性寄托于外来的操纵是不那么令人信服的。

8. 本文所讨论的网络其实是有向网络。本文只着重分析了联入连接,也就是说,对于任一节点,本文假设它们所拥有的链入连接是scale free的(符合幂律分布),而它们的链出连接仍然是随机(符合泊松分布)的。本文提到,当反过来考虑链出连接为幂律分布,而链入连接为泊松分布的时候,本文的各项结论仍然成立。但由于缺乏数学基础,我并没有理解为什么能直接这样推论。另外,当链入和链出连接都是无标度的时候,网络性质又如何呢?本文没有给出答案。

9. 关于在第7点提到的,对于那些K值最大的节点进行控制,便足以控制整个系统的命运。如果真是这样的话,事情会简化许多。但那样只要抓大放小就可以的话,网络动态的理论在这里面还剩下多大意义呢?

10. 真实的网络都具有有限的节点和有限的连接数。如果节点数相对较小,比如论文中研究的不到20个,那么无标度网络与符合其它分布的网络,表现在具体的k值上,能有多大的本质区别呢?讨论scale free的意义又有多大呢?让γ从2.5变到10甚至1000又能产生多大效应呢?

笔记就写到这里,接下来还要继续学习。也恳请科网上的各位老师同学不吝赐教。我相信网络理论的发展最终能解决很多重要的问题。


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