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机电耦合系统的动力学建模 精选

已有 4622 次阅读 2021-11-3 14:13 |系统分类:科普集锦

1.       机电耦合系统:

随着科学技术的发展,在生活中或工程中,机械运动和电磁现象相互耦合的情况普遍存在。以最常见的扬声器为例,电流的输入改变了线圈的电感,产生磁力使膜片振动,膜片的位移通过电流变化对线圈施加负反馈以防止啸叫。位移和电磁在扬声器的运动过程里相互耦合。在电机、电讯、仪表、自动控制等部门里,由机械元件和电磁元件组成的系统更为普遍。对这种机电系统的数学建模需要应用力学和电磁学的综合知识。

1788 年,法国数学家拉格朗日(Lagrange,J.L)建立的拉格朗日方程奠定了分析力学基础(图 1)。拉格朗日方程的一般形式为

                             机电1.png                              (1)

其中 qj  (= 1,2,···, f) 为广义坐标,T 和 V 为机械系统的动能和势能,Ψq 为瑞利耗散函数,Qj 为广义力。


图1  拉格朗日(Lagrange,J.L, 1736-1813)


百年后苏格兰物理学家麦克斯韦 (Maxwell,J.C.) 于 1865 年发表了描述电磁运动普遍规律的麦克斯韦(Maxwell,J.C.) 方程,奠定了电磁学的理论基础(图 2)。机电系统动力学的数学模型由这两类方程耦合构成。拉格朗日方程是理工科大学理论力学课程的主要内容之一,其推导过程已在课程中阐明。以下仅对麦克斯韦方程做简要说明。



图2  麦克斯韦(Maxwell,J.C., 1831-1879)


2.       麦克斯韦方程

       设机电系统由 个自由度的机械元件和包含 n 个电路的电磁元件组成。个机械自由度以广义坐标 qj (= 1,2,…,f表示。n 个电路由电容器 Ck,电感线圈 Lk,电阻 Rk 和输入电压  uk (= 1,2,···, n) 组成 (图 3)。将电容器电荷和电流记作 ek, ik  (= 1,2,···, n),设 uk为电感线圈的感应电动势,ukR, ukC  (= 1,2,···, n) 分别为电阻和电容的电压降。利用基尔霍夫定律 (Kirchhoff,G.R.) 列出每个电路的电压变化

                                                      机电2.png                                                                       (2)

其中电阻的电压降 uk满足欧姆定律,可利用电磁耗散函数 Ψ对电流的导数表示为

                                         机电3.png                                            (3)

电感的电动势 uk等于磁通量 Φk  的变化率:

                                                                     机电4.png                                                                          (4)



              图3  电磁元件


磁通量 Φk 可用磁场能量 Em 对电流的导数表示为

                                          机电5.png                                       (5)

其中 Lkk 为第 k 回路的自感系数,Lkr 为第 k 回路与第 r 回路之间的互感系数,均与元件的位移有关,为广义坐标 qj (= 1,2,…,f的函数:

                                         机电6.png                                        (6)

将式 (5) 代入式 (4),得到

                                                   机电7.png                                            (7)

电容 Ck 的电压降 uk等于静电场能量 E对电荷 e的导数:

                                                    机电8.png                                                  (8)

电容 C与元件的位移有关,是广义坐标  qj (= 1,2,…,f的函数:

                                           机电9.png                                              (9)

将式(3),(7),(8)代入式(2),得到电路方程:

                             机电10.png                              (10)

其中 u为输入电压。


     3.     电磁场的广义力

  根据能量守恒定律,输入系统的电功率转换为电磁场能量的变化率、电阻耗散功率、以及电磁作用力完成的机械功率。依据电磁系统中的功率平衡,得到

                                     机电11.png                                (11)

其中 Qj* (= 1,2,…,f为电磁场产生的广义力。磁场能量 Em 不仅取决于电流变化,而且与机械运动有关。其变化率为

           机电13.png    (12)

上式右边第一项中的求和式可利用欧拉齐次函数定理化简

                                                             机电12.png                                                                          (13)

利用上式将式 (12) 化作

                                             机电14.png                                                    (14)

静电场能量 E不仅取决于电荷变化,也与机械运动有关。其变化率为

                                                机电15.png                                                               (15)

将式 (14), (15) 代入式 (11),以电荷对时间的导数表示电流,令机电16.png,得到

                         机电17.png            (16)
其中的方括号将式 (11) 代入后应等于零,因机电18.png为独立变量,导出电磁场的广义力:

                                                机电19.png                                                   (17)

4.       拉格朗日-麦克思韦方程

考虑电磁元件对机械系统的影响,拉格朗日方程 (1) 中应增加电磁场的广义力 Qj*

     机电20.png      (18)

将包含机械能量、静电场能量和磁场能量在内的广义拉格朗日函数机电21.png定义为

    机电22.png        (19)

将机械耗散函数 Ψq 与电磁耗散函数 Ψ组成总耗散函数 Ψ

                                            机电23.png                                                                  (20)

则考虑电磁场因素的拉格朗日方程 (18) 修改为

                           机电24.png                                    (21)

也可用广义拉格朗日函数表示方程 (10),称为麦克斯韦方程:

                                         机电25.png                                   (22)

方程 (21) 和 (22) 组成具有完美对称性的拉格朗日-麦克斯韦方程。此方程组以耦合的广义坐标 qj (= 1,2,…,f与电荷 e或电流 i(= 1,2,···, n)为未知变量,确定机电耦合系统的机械运动以及电荷或电流的变化规律。


      5.  计算实例:磁悬浮车厢



           图4   磁悬浮车厢


      磁悬浮车厢利用电磁铁的电磁吸力悬浮在 T 形导轨上,电磁铁回路由电感 L 和电阻 R 组成,输入电压为 u。近似认为磁铁与导轨下缘之间气隙内的磁感应强度 均匀分布,则磁通量为 Φ BSNS 为气隙面积,为车厢的磁铁数。设平衡时的间隙为 h,质心 Oc  相对平衡位置 O 点向上的垂直位移为 y。车厢的质量为 m,空气阻力系数为 c,系统的动能和势能分别为

             机电26.png                                                                      (23)

均匀磁场内的能量 E与磁感应强度的平方成正比,与气隙体积成正比。

                                                         机电27.png                                                                (24)

其中 μ0 为空气的导磁系数,h - y 为实际间隙。将磁通 Φ BSN 代入式 (5),导出磁感应强度 B,再代入式 (24) 计算 Em,得到

                                              机电28.png                                                 (25)

根据式 (5),也可将磁场能量表示为 ELi2/2。令其与式 (25) 中的 Em 相等,解出电感 L,与间隙成反比

                                                                 机电29.png                                                                         (26)

代回式 (25),导出磁场能量 Em

                                                                         机电30.png                                                                                 (27)

写出拉格朗日函数和耗散函数:

                        机电31.png                       (28)

代入拉格朗日-麦克斯韦方程(21),(22),以 Lμ0SN2/2表示车厢无垂直位移 (= 0时的电感值,得到磁悬浮车厢的动力学方程:

                                      机电32.png                                      (29)


                       (改写自:刘延柱. 高等动力学(第二版),第2. 北京:高等教育出版社,2016



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