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靠双脚扭动前进的滑板驱动力来自何处? 精选

已有 1893 次阅读 2021-5-9 11:16 |系统分类:科普集锦

       20 世纪 50 年代后期,美国南加州海滩的居民们发明了一种简单的运动器械。将一块木板固定在铁轮子上,人站在木板上用脚蹬地可以快速向前滑行。此后这种称为滑板 (skate board) 的器械不断改进,板面改用碳纤维材料,轮子改用高硬度和高弹性的尼龙材料。改进后的滑板不仅能向前直滑,而且能急速转弯,还能越过障碍,能在陆地上制造类似海上冲浪的快感(图 1)。到了 70 年代,被比喻为 “陆上冲浪” 的滑板运动已经风靡全美国。80 年代出现了 U 形滑板池,利用重力加速,滑板运动员可以上下往复滑行,做出各种使人眼花缭乱的腾空翻转动作。滑板运动不同于传统的运动项目,它极富观赏刺激性和自我挑战性,因此深受年轻人的喜爱,很快流行于全世界。80 年代末传入我国,1993 年曾举行首届全国滑板运动比赛。2020 年滑板运动被国际奥委会列为 2024 年巴黎奥运会的正式比赛项目。


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                                      图1   滑板运动


  驾驭滑板的人用脚蹬地或靠重力推动,然后靠惯性维持运动。而一种改进的二轮滑板,却不需要蹬地,依靠乘员的身体和双脚扭动就能驱使滑板前进。这种滑板称为活力板 (vigor board) 。由于其蜿蜒前进的运动方式有如蛇一般游走,故又名蛇板 (snake board) 。活力板不需蹬地仅靠肢体扭动就能前进的现象,使人感觉到似乎是滑板上的乘员对滑板的作用力推动了滑板运动。但这看法完全错误,因为根据牛顿力学的基本原理,任何系统不能靠内力改变运动状态。那么驱动滑板前进的动力从何而来?

     在弄清楚问题以前,先要了解活力板的构造。这种滑板由前后两部分构成,中间用圆柱铰联结,前后板绕水平的联结轴可以分别独立转动。前后轮与滑板并不直接固定,而是通过轮架安装在板的下方。轮架带着轮子可以绕倾斜的转轴自由转动。转轴的延长线与地面的交点在轮子与地面接触点的前方(图 2)。


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活力板(图片引自网络)


在前篇博文 “自行车的发明简史及力学原理” 中,曾提到超市手推车的脚轮转轴总是位于脚轮的前方,自行车的前叉转轴延长线也指向轮胎与地面接触点的前方。这种设计是保证手推车和自行车稳定性的关键,称为 “脚轮效应” 。活力板的轮架构造也同样利用了脚轮效应。它不仅能对载人滑板起稳定作用,而且能利用轮子绕转轴的偏转使摩擦力产生向前的分量,推动滑板前进。

以滑板的中心 为原点,建立参考坐标系 (O-xyz)轴沿滑板纵轴向前,y 轴为横向水平轴,轴为垂直轴向上。设轮架的转轴 z1 相对垂直轴的倾角为 d,轮架支在前轮的中心 O1 处,与轮架转轴的距离为 d。轮架转轴的延长线与地面的交点为 Q1Q1点在前轮与地面的接触点 P的前方,与 P点的水平距离为 Δ(图3)。


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3  滑板的几何参数和参考坐标轴


滑板沿 轴作直线运动时,前后板均保持水平,前后轮平面 Π 均与过 轴的垂直面 Π重合。以滑板的前半部分为例。车身连同乘员的前半部分重力 W1  O点压在轮架上,与地面在 P1 点作用的法向约束力 F1N 平衡,F1N = -W1先假定乘员的前脚朝左对前板施力,此时前脚掌必自然倾斜使左侧略高于右侧,并带动前板绕 轴偏转,使 Π 平面绕水平轴 相对垂直面 Π 逆时针转过 θ1 角。沿垂直轴 的重力 W和法向约束力 F1N 不再共线,而是朝 Π 平面两侧偏离Π 平面。 θ1 角不大时仅保留其一次项,二者沿 Π 平面法线方向的投影分别为 W1θ1 -F1Nθ1,且分别以 d  Δcosd 为力臂,对轮架产生绕转轴 z1 的力矩(图 4)。与自行车不同,重力和约束力的作用点 O1和 P1 位于 z1 轴的同侧,而自行车是在 z1 轴的不同侧。从图 3 可看出 d > Δcosd,且由于 F1N W1其合力矩 MzW1θ1 (d - Δcosd) 沿 z1 轴的逆时针方向。


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4  脚轮效应


设乘员扭动身体,双脚交替向左或向右施力,使转角 θ1 随时间周期性变化。变化规律为 θθ10sinωt,则力矩 Mz1 亦随之周期性变化:

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设前轮架连同前轮相对 z1 轴的惯性矩为 J1,则力矩 Mz1 使前轮架连同前轮产生 z1 轴的角加速度 ε= Mz1/J1

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将上式积分两次,导出前轮架绕 z轴的转角 φ与角加速度 ε1 的相位相反:

滑板4.png

于是前轮架按顺时针方向绕 z1 轴转过 |φ1| 。前脚向左的蹬板动作使地面产生向右的摩擦力 F1,作用线与前轮平面垂直。设轮缘与地面的摩擦因数为 fs,则 FfsF1N fsW1F1 沿 x轴的投影为 F1x=F1sin|φ1|,沿 y1 轴的投影为 F1= F1cos|φ1|(图 5)。仅保留 |φ1| 的一次项时,F1近似为

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F1x 指向前方,成为推动滑板前进的驱动力。F1y 近似等于 F1,起向心力作用,使直线运动变为曲线运动。


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5  周期性转动的前板摩擦力纵向和横向分量


若乘员用前脚控制前板使转角 θ 固定不变,则力矩 M使前轮架连同前轮产生绕 z轴逆时针方向的常值转角 φ1,与力矩 Mz1 的方向相同。摩擦力 F1 沿 y1 轴的投影方向变为向后产生制动作用,用于控制滑板能使其停顿甚至倒退(图 6)。


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6  固定转角的前板摩擦力纵向和横向分量


   以上对前轮的分析也完全适用于后轮。设后轮架的转轴相对垂直轴的倾角也是 d,转轴延长线与地面交点Q也在后轮与地面接触点 P的前方,与 P的距离也是 Δ。如乘员的后脚与前脚同步,也朝左蹬板做前后对称的同样动作,则后板的转角与前板相同,φ2 = φ1,摩擦力 FfsF2N 沿 轴的投影为

滑板5.png

设乘员与滑板的质量为 m,令 W Wmg/2,θ10 θ20 θ0J=  J J前后轮的摩擦力一同推动滑板前进(图 7),推力总和为

滑板6.png

且同时使直线轨道变为曲线。要使滑板继续向前方运动,运动员必须使前后板同时改变扭动方向。其结果是使滑板的轨迹沿顺时针或逆时针交替朝不同方向弯曲,形成蛇形蜿蜒游动的独特运动方式。


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图7  前后板朝同一方向偏转的摩擦力


若乘员前后脚的蹬板方向相反。前脚向左蹬板时后脚向右蹬板,则摩擦力的纵向分量相同,但横向分量方向相反。前后方向相反的横向力构成常值力偶 Mz,推动滑板绕垂直轴转动。设前后板之间的距离为 a,则Mmga/2。这种转动是滑板转弯的必要条件,乘员必须采用这种反对称模式蹬板才能实现转弯动作(图8)。技术熟练的乘员能利用身体的扭动和双脚对前后板的施力控制轮架的倾斜方向。借助地面的摩擦力实现前进、转弯、停顿、甚至倒退或原地旋转等高难动作。


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图8  前后板朝不同方向偏转的摩擦力


       如上所述,与自行车类似,滑板的脚轮效应也促使轨迹从直线变为曲线。所产生的离心力也能对乘员起稳定作用。但滑板脚轮效应的最重要特点是能使摩擦力产生前进分量,驱动滑板前进。因此动力板与普通滑板都是靠地面摩擦力作为驱动力。区别仅在于:普通滑板靠运动员直接蹬地产生摩擦力推动前进,而活力板靠运动员的扭动和脚蹬使前后轮倾斜,间接利用摩擦力推动前进。


      (改写自:刘延柱, 苗英恺. 活力板运动的动力学分析. 力学与实践,2008,30(3):60-62

                                刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版), 3.9 节. 北京:高等教育出版社,2018)





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