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正方形问题square problem,用计算机寻找“四有点”four rational distances

已有 603 次阅读 2021-5-18 07:56 |系统分类:教学心得

正方形问题:在边长为1的正方形内部,是否存在一个点,使得此点到正方形四个顶点的距离都是有理数?所谓有理数,包括整数和分数(有限小数和无限循环小数),不包括无限不循环小数。无限不循环小数属于无理数。

 

1976 年,C.W. Dodge 在《数学杂志》Mathematical Magazine提出了这个正方形问题”。

1986 年,John P. Robertson 证明了:如果一个点到两条边的距离相等,就不能满足这种条件。

2005 年,《离散几何中的研究问题》把正方形问题列为“有待证明的问题”。

2021年,姬扬证明了:如果这个 点位于正方形的对角线、中线或边上,或者正方形的边长是这个点到某一边距离的 nn 倍(nn  n^2+4n^2+4 都是质数),那么这个点到正方形四个顶点的距离就不可能都是有理数。参阅http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1286287.html

 

单位正方形内部有无穷多个点,只要找到哪怕一个“四有点”正方形问题就算解决了;如果把无穷多个点都验算一遍还是找不到“四有点”,那么正方形问题也同样就是解决了。

如果一个点到四个顶点的距离中,有一个是有理数,称为“一有点”;

如果一个点到四个顶点的距离中,有二个是有理数,称为“二有点”;

如果一个点到四个顶点的距离中,有三个是有理数,称为“三有点”;

如果一个点到四个顶点的距离中,有四个是有理数,称为“四有点”。

 

所以现在换一种思路,不是试图证明“没有”,而是尝试证明“有”。可以借助于计算机,让计算机代替人脑去证明“正方形问题”。在正常情况下,一般都是先易后难,先找“一有点”,在此基础上再找“二有点”,再然后找“三有点”,最后找“四有点”,看看结果怎样。

 

下面提供一种使用计算机寻找“二有点”的例子,具体方案如下:

如下图所示,以AB为直径做一个圆,落入正方形内部的圆弧,

该圆弧上有无穷多个点,现在用计算机来验算圆弧上的点到四个顶点的距离abcd的长度,编制计算程序,可以计算找到2对“二有点”:

a=0.96,  b=0.28,  c=0.7353910524340...,  d=1.1764352935882...

a=0.8,  b=0.6,  c=0.6324555320337...,  d=0.8246211251235...

由于正方形具有对称性,类似的“二有点”还应有4个。但是该圆弧上没有发现“三有点”和“四有点”,不过“一有点”却是有无穷多个。

 

如下图所示,随a取值(有限小数)的变化,b具有单调性,而cd会有最小值;圆弧上的点到四个顶点的距离之和T也具有最小值(Tmin=1.89)。T有最小值这是有“物理意义”的,比如要将一头牛的四蹄用四条绳索分别栓在正方形的四柱上,这样做所用的绳索可以最短,所以相对而言应该是最省钱。

以上仅是针对一条半圆弧的特殊情况,如果是在正方形内部任意一条直线或曲线上寻找“四有点”,尽管方案可行,但计算量很大,在此只是抛砖引玉。




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