对于图1所示的布朗运动，《随机过程》和《随机信号分析》均将一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)抽象为时间函数，并进一步明确X(t)是t的连续函数。

图1 《随机过程》与《随机信号分析》的假设及结论对比 

《随机过程》和《随机信号分析》首先将时间区间[0,t]进行n等分，并用∆X_i表示X(t)在第i个时间段内的增量，有

∆X_i = X(i) -X(i-1)，i = 0,1,…,n

则X(t)可表示为时间函数增量之和：

X(t) = ∆X₁ + ∆X₂ +…+ ∆X_n

注意：时间函数的增量∆X_i仍然是时间函数。

1、《随机过程》的增量假设及结论

《随机过程》假设“∆X_i为独立同分布（i.i.d.）随机变量”，从而根据中心极限定理，得出了“布朗运动位移X(t)服从（0，σ²t）正态分布”、 “布朗运动路径处处不可导” 和 “布朗运动瞬时速度无穷大（不存在）”等与客观事实不符的结论。

2、《随机信号分析》的增量假设及结论

《随机信号分析》假设“∆X_i为互不相关的时间函数”，从而得出了“布朗运动瞬时速度（导数）是平均功率为σ²的白噪声n(t)”和“布朗运动位移X(t)等于白噪声n(t)在[0,t]区间上的积分”的结论，与自然科学、工程技术和社会科学大量的观察实验结果完全相符。

3、《随机过程》增量假设违反同一律

显然，《随机过程》的“∆X_i为独立同分布（i.i.d.）随机变量”假设违反了逻辑推理基本规则——同一律，不加说明地用“随机变量”代替 “时间函数”，因而产生了违反同一律的“偷换概念”逻辑错误。

《随机过程》教科书“偷换概念”的逻辑错误不仅破坏了《随机过程》布朗运动理论的逻辑完备性和客观真理性，而且与《随机信号分析》根本对立和严重冲突。

《随机过程》不仅无法正确描述布朗运动现象及规律，而且在逻辑上不能自洽，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的方法、理论及工具，因此，《随机过程》教科书中的错误假设及结论必将被《随机信号分析》理论所取代。

4、牛顿违反同一律引发第二次数学危机

牛顿在创立《微积分》时也曾因违反同一律，将∆x≠0和∆x=0这两个完全不同的数学概念相互代替，产生了著名的“贝克莱悖论”，导致《微积分》理论在逻辑上不能自洽。

英国大主教贝克莱（Berkeley）强烈指责牛顿是有意识地“偷换概念”，《微积分》是“分明的诡辩”，引发了数学史上持续150年的第二次数学危机，导致《微积分》理论险被推翻。

后来柯西（Cauchy）将极限概念作为《微积分》的理论基础，才彻底消除了牛顿违反同一律的逻辑错误，解除了数学史上的第二次危机。

参考：

[1] Gregory F.Lawler. 随机过程导论[M]. 张景肖译. 北京:机械工业出版社,2010.

[2] 为什么《随机过程》与《随机信号分析》对立冲突？

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1423175.html