时间函数的增量究竟是时间函数还是随机变量？这个一个明知故问的愚蠢问题，就如同去幼儿园问小朋友“从煤球上掉下的煤粉究竟是黑的还是白的”一样弱智，时间函数的增量当然是时间函数。

但是，这个问题对随机过程领域的专家学者们来说，却是一道拷问灵魂的世纪难题，100多年来无人能够正确回答，因为《随机过程》教科书的研究方法提供了错误的标准答案：时间函数的增量是随机变量。

《随机过程》为了研究图1所示的布朗运动位移曲线性质，首先将布朗运动在t时刻的位移X(t)抽象为时间函数，并明确指出：X(t)是t的连续函数！

图1 布朗运动位移曲线

《随机过程》然后将[0,t] 区间n等分，并用∆X_i表示X(t) 在第i个时间段内的增量，有

∆X_i = X(i)-X(i-1)，i=1,2,…,n

则X(t)可改写为：

X(t) = ∆X₁+∆X₂+…+∆X_n

注意：《随机过程》将时间函数X(t)表示为“时间函数增量之和”，这时的增量∆X_i仍然是时间函数。

随后，匪夷所思的事发生了，《随机过程》为了利用中心极限定理，竟然违反同一律，将时间函数的增量∆X_i偷换为独立同分布（i.i.d.）随机变量，推出了时间函数X(t)为“独立同分布随机变量之和”的荒谬结论，与前面的时间函数X(t)为“时间函数增量之和”自相矛盾，导致《随机过程》布朗运动定义（基本假设）隐含逻辑悖论，必然使《随机过程》布朗运动理论在逻辑上不能自洽。

显然，《随机过程》有意偷换概念，不加说明地用一个完全不同的概念去代替原有概念进行假设、推理或证明，因而产生了违反同一律的逻辑错误。

牛顿在创立《微积分》时也曾因违反同一律，将∆x≠0和∆x=0这两个完全不同的数学概念等同使用，产生了著名的“贝克莱悖论”，导致《微积分》理论在逻辑上不能自洽。

英国大主教贝克莱（Berkeley）强烈指责牛顿是有意识地偷换概念，《微积分》是“分明的诡辩”，引发了数学史上持续150年的第二次数学危机，导致《微积分》理论险被推翻。

后来柯西（Cauchy）将极限概念作为《微积分》的理论基础，才彻底消除了牛顿违反同一律的逻辑错误，解除了数学史上的第二次危机。

《随机过程》违反同一律的“偷换概念”逻辑错误不仅导致《随机过程》理论与客观事实不符，在逻辑上不能自洽，而且与《随机信号分析》严重对立冲突，无法正确描述布朗运动现象及规律，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。

参考：

[1] Gregory F.Lawler.随机过程导论[M]. 张景肖译. 北京:机械工业出版社,2010.