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归谬法是一种反驳或推翻谬误的逻辑方法。
归谬法首先假设被反驳的命题(谬误)为真,然后通过演绎推理,推出一个与已知为真的科学事实或科学理论相悖的结论,让被反驳的命题不攻自破,从而否定假设,证明被反驳的命题不能成立。
假设被反驳的命题或谬误为A,归谬法推翻A的过程如下:
(1)设A真;
(2)如果A,则B;
(3)非B;
(4)所以A假。
1905年,英国著名数学家、现代统计科学的创立者皮尔逊(Pearson)在《自然(Nature)》杂志上公开求解随机游走问题(Random Walk Problem):如果一个醉汉走路时每步的方向完全随机,经过一段时间之后,在什么地方找到他的可能性最大?
1921年,美籍匈牙利数学家波利亚(Polya)证明了“一维和二维简单随机游走具有常返性”的随机游走定理,表明从原点出发的醉汉最终一定能回到起点。
日本著名数学家角谷静夫将波利亚随机游走定理形象地表述为:喝醉的酒鬼总能找到回家的路(A drunk man will eventually find his way home),因此,波利亚随机游走定理也被称为酒鬼回家定理。
波利亚因随机游走(Random Walk)问题的研究而闻名世界,波利亚随机游走定理被《数学之书(The Math Book)》列为数学发展史上最重要的250个里程碑式的重大发现(图1),美国数学会(Mathematical Association of America)出版发行的波利亚生平传记书名就为《波利亚的随机游走(The Random Walks of George Polya)》,波利亚被誉为20世纪最杰出的数学家之一。
图1 波利亚随机游走定理
设S(n)为一维简单对称随机游走在第n步的位置,波利亚随机游走定理则可用数学公式表示为:
P[S(n)=0,i.o.]=1
即一维简单对称随机游走S(n)返回原点无穷多次的概率为1。
证明:
(1)设P[S(n)=0,i.o.]=1为真;
(2)如果P[S(n)=0,i.o.]=1,当S(n)=0时,有D[S(n)]=D[0]=0;
(3)由随机游走定义,D[S(n)]=n≠0;
(4)所以P[S(n)=0,i.o.]=1为假。
因此,波利亚随机游走定理不能成立。
证明思路:
假设随机游走S(n)在第n步时返回原点,分别求取波利亚随机游走定理和随机游走定义在第n步时的方差D[S(n)],推出相悖或矛盾的结论,使波利亚随机游走定理不攻自破。
参考:
[1] 波利亚和他的随机游走定理
https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1364508.html
[2] 实验检验方法检验《随机过程》随机游走理论的客观真理性
https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1367417.html
[3] 偷换概念的《随机过程》
https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1424101.html
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