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物理学实验颠覆维纳“布朗运动处处不可导”著名论断

已有 1233 次阅读 2021-3-31 14:48 |个人分类:随机过程|系统分类:科研笔记

美国德克萨斯大学的李统藏在2010年首次通过实验方法观测到了单个布朗粒子的瞬时速度,完成了这个爱因斯坦在一百多年前认为是不可能完成的任务。李统藏的实验结果不仅颠覆了维纳 “布朗运动路径处处不可导”的著名论断,而且也颠覆了维纳的质点随机运动研究方法,随机过程学科会因无法解释李统藏的实验事实而造成整个学科危机。随机过程学科的样本轨道研究方法将面临重大范式变革并产生一系列新的重大发现,从而把自然科学、工程技术和社会科学对动态随机现象的认识提高到一个崭新的水平,引发一场持久广泛的科学革命,为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。

一、布朗运动研究历史

布朗运动是物理学中的一个著名现象。1827年,英国植物学家布朗用显微镜观察悬浮在液体中的花粉微粒时,发现微粒总是在做无规则运动。后来人们发现,这是一种广泛存在于自然、工程和社会等领域中的随机现象,如空气污染扩散、陀螺随机游走和股票价格波动等。

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图1 花粉微粒布朗运动

1905年,爱因斯坦首先使用概率方法对一维布朗运动进行了定量研究,从热分子运动扩散方程推导出了大量布朗粒子在 [公式] 时刻位置{ [公式] }服从正态分布的性质。爱因斯坦在1905年发表的论文中写道:“布朗粒子在 [公式] 时刻位移的概率分布与偶然误差的概率分布相同,这正是所预料的”。

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图2 布朗运动位移正态分布

由于液体扩散系数 [公式] 仅与大量布朗粒子正态分布的标准差 [公式] 有关,因此爱因斯坦并没有关注单个布朗粒子的运动,而将研究的重点放在大量布朗粒子在 [公式] 时刻的空间位置分布统计特性上。

1908年,法国物理学家佩兰(Perrin)进行了一系列关于布朗运动的实验研究,直接通过显微镜观测了200个布朗微粒在不同时刻的位置分布,不仅实验证实了爱因斯坦的布朗运动正态分布结论,而且也精确求出了阿伏伽德罗常数(Avogadro constant),第一次用实验方法直接证实了原子的存在,平息了长久以来的“原子论”之争。凭借这项研究成果,佩兰获得了1926年的诺贝尔物理学奖。

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图3 著名物理学家佩兰

1913年,18岁的维纳(Wiener)在完成哈佛大学的博士论文答辩后,向学校申请了旅行奖学金,并选择在英国剑桥大学留学。

维纳在剑桥大学师从英国哲学家罗素,罗素和其老师编著的《数学原理》正是维纳博士论文关注的重点。罗素的《数学原理》是关于哲学、数学和数理逻辑的巨著,也是数理逻辑发展史上的一个重要里程碑,奠定了20世纪数理逻辑发展的基础。

罗素对物理学中的重要发现有着敏锐的嗅觉,他教导维纳牢牢记住:数学很重要,但必须要有坚实的物理概念进行支撑,并建议维纳去阅读爱因斯坦1905 年发表的三篇研究论文。

维纳在阅读完爱因斯坦关于布朗运动的研究论文后发现,爱因斯坦研究的是大量布朗粒子随机运动的统计规律,而没有涉及单个布朗微粒运动轨迹的数学性质。

与爱因斯坦关注大量质点的统计行为不同,维纳关心的是“一个质点所走曲线的数学性质”。维纳将单个布朗粒子的位移x(t)抽象为随机变量,并用随机变量的正态分布特性来描述一个布朗粒子的运动规律,得出了“布朗粒子位移服从正态分布”、“布朗粒子位移 [公式] 与 [公式] 成正比”和“布朗运动路径处处不可导(瞬时速度无穷大)”等著名论断。

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图4 著名数学家和控制论创始人维纳

维纳是随机过程理论的先驱,他对单个布朗粒子运动的研究方法和结论,为随机过程理论的建立奠定了概念、方法和理论基础,因此布朗运动在《概率论》和《随机过程》教科书中也被称为“维纳过程”。

二、李统藏布朗粒子瞬时速度测量实验

1982年,李统藏出生于浙江省温州市苍南县,2000年从苍南中学考入中国科学技术大学物理系,2004年大学毕业后,赴美国得州大学奥斯汀分校物理系攻读博士学位,于2011年5月获得博士学位。2011年至2014年在美国加州伯克利大学进行博士后研究,2014年成为美国普渡大学“物理和天文系”及“电子工程和计算机系”任双聘助理教授,博士生导师,2016年获得美国国家科学基金会杰出青年教授奖。

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图5 李统藏

布朗粒子在受到液体分子的高速碰撞时,会导致单个微粒的瞬时速度变化太快,以至于100年前的技术手段根本无法测定单个布朗粒子的瞬时速度,因此,爱因斯坦在1907年预言:测定单个布朗粒子的瞬时速度是一件不可能完成的任务。

李统藏在攻读博士期间,前4年从事激光冷却原子实验,并发表多篇相关论文,其中1篇第一作者论文被《自然-光子学》杂志评选为研究亮点并进行了报道。

2008年,李统藏提出了用激光光镊技术在空气中测定布朗粒子瞬时速度的实验方法。由于空气的密度远远低于水,因此布朗粒子受空气分子碰撞的频率也要比液体中低很多,很有可能观测到微粒的瞬时速度。

在获得导师雷曾(Raizen)的支持后,李统藏于攻读博士的第5年停止原有研究,从零开始搭建这个新的实验装置。

2010年,李统藏成功地用激光光镊技术首次实验测量了悬浮布朗粒子的瞬时速度,完成了爱因斯坦在100多年前认为不可能完成的任务。

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图6 布朗粒子瞬时速度测量实验及结果

李统藏的研究论文“Measurement of the Instantaneous Velocity of a Brownian Particle”在《科学(Science)》杂志上发表后,在全球引起了极大轰动。

《科学》杂志专门为李统藏的论文配发了录音采访,《自然》杂志也迅速报道了该实验。李统藏的布朗粒子瞬时速度测量实验被《科学》杂志推荐为大学及高中教学内容,美国明尼苏达大学等学校的相关课程已经将该实验作为教学内容。

李统藏通过激光光镊实验方法观测到了直径为3微米的布朗粒子瞬时速度波形,是均值为零,RMS(Root Mean Square)均方根为0.422mm/s的白噪声。

李统藏的布朗粒子瞬时速度测量实验结果表明:布朗运动的导数(瞬时速度)不仅存在,而且可观测,并颠覆了维纳“布朗运动样本轨道处处不可导(瞬时速度无穷大)”的著名论断,随机过程学科将因无法解释李统藏的实验事实而造成整个学科危机

三、维纳研究方法错误分析

随机过程是定义在 [公式] 上的二元单值函数 [公式] 。对于固定的时间 [公式] , [公式] 是状态 [公式] 的函数,称为随机变量,简记为 [公式] ;对于固定的状态 [公式] , [公式] 是时间 [公式] 的函数,称为样本函数或样本轨道,简记为 [公式] 。

一个样本函数 [公式] 对应着随机试验中的一次“测量结果”,即人们观察到的实际随机现象随时间演变的过程,因此 [公式] 也被称为随机过程的一个“实现”。

下图为随机过程 [公式] 、随机变量 [公式] 和样本函数 [公式] 三者之间的关系示意图。

随机过程.png

图7 随机过程定义示意图

图中的样本函数曲线 [公式] 是 [公式] 个随机运动质点的位移曲线,所有质点在 [公式] 时刻的位置(图中红点){ [公式] }就是随机变量 [公式] 在 [公式] 时刻的状态或取值。因此,随机过程 [公式] 即可成是随机变量 [公式] 的集合,也可看成是样本轨道 [公式] 的集合。

从图7可以看出,随机变量 [公式] 和样本函数 [公式] 描述的是完全不同的物理现象。随机变量 [公式] 用来描述大量质点在 [公式] 时刻空间位置{ [公式] }的分布特性,样本函数 [公式]则用来描述一个质点的位移随时间 [公式] 的变化过程。

注意:随机变量 [公式] 并不是时间 [公式] 的函数,而是大量样本函数 [公式] 在 [公式] 时刻的取值{ [公式] }。

观察一个布朗粒子的位移随时间变化过程(图8),设 [公式] 为布朗粒子在 [公式] 时刻的位置。对于每一个确定的时刻 [公式] ,都有唯一一个确定的 [公式] 与时间 [公式] “一一对应”,因此,布朗粒子位移 [公式] 与时间 [公式] 之间的数量关系为函数关系, [公式] 的函数图像见图8(b)。

从随机过程的角度看, [公式] 只是随机过程 [公式] 固定 [公式] 时的一条样本轨道,而非随机变量 [公式] 。

图P1.png


图8 单个布朗粒子位移

维纳在研究单个布朗粒子的运动性质时,将单个布朗粒子在 [公式] 时刻的位移 [公式] 假设为随机变量 [公式] ,并根据爱因斯坦布朗运动服从正态分布的性质,归纳总结出了布朗运动的数学定义。

定义:设{ [公式] , [公式] }为随机过程,如果

(1){ [公式] , [公式] }为平稳独立增量过程;

(2) [公式] ;

(3) [公式] 关于 [公式] 是连续函数;

(4)对任意的 [公式] , [公式] ,其中 [公式] 为常数。

则称 [公式] 是参数为 [公式] 布朗运动,或维纳过程。

维纳将爱因斯坦大量布朗粒子服从正态分布的统计性质用来描述单个布朗粒子的位移特性,得出了“布朗粒子位移服从正态分布”、“布朗粒子位移 [公式] 与 [公式] 成正比”和“布朗运动路径处处不可导(瞬时速度无穷大)”等著名论断。

如果布朗粒子的位移 [公式] 可导,则下述时间函数极限( [公式] 区间上的平均速度)存在

[公式]

式中 [公式] 为布朗粒子在 [公式] 时刻的位移, [公式] 是时间 [公式] 的函数。

但是维纳在求解上面的时间函数极限时,却用随机变量 [公式] 取代了时间函数 [公式] ,根据布朗粒子位移 [公式] 与 [公式] 成正比的性质,有

[公式]

显然,当 [公式] 趋于零时,布朗粒子的“瞬时速度”趋于无限大,上述随机变量极限不存在,维纳因此得出了“布朗运动处处不可导”的著名论断。

此外,如果单个布朗粒子的位移服从正态分布,则布朗粒子的位移曲线应具有如下两个特点:

(1)对称性。绝对值相等的正、负位移出现的次数大致相等。

(2)集中性。布朗粒子在0点附近出现的次数最多。

但从图8(b)的布朗粒子位移曲线可以看出,布朗粒子随时间远离原点,其位移曲线既不符合正态分布的对称性,也不符合正态分布的集中性

事实上,爱因斯坦关于“布朗运动服从正态分布”是指大量布朗粒子在 [公式] 时刻的位置分布(图9),而不是指一个布朗粒子的位移服从正态分布。

布朗运动样本轨道.png

图9 布朗运动正态分布性质

根据爱因斯坦布朗运动理论,布朗运动正态分布的方差与时间t成正比,表示大量布朗的粒子在随时间t不断向远离原点的方向扩散。

因此,维纳研究方法的错误在于:将单个布朗粒子的位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量,混淆了样本函数与随机变量的区别,,无形中将研究对象从一个布朗粒子改变为大量布朗粒子,并用大量布朗粒子的统计特性来描述单个布朗粒子的运动规律,势必会得出一系列与事实不符的错误结论。

四、维纳研究方法对随机过程学科的影响

维纳对单个布朗粒子运动性质的研究方法,为随机过程理论的建立奠定了概念、方法和理论基础,但同时也使随机过程学科的研究对象发生错位,给随机过程学科埋下了严重的隐患,导致随机过程学科陷入范式危机。

1、直接将质点位移抽象为随机变量

以钱敏平、龚光鲁、陈大岳和章复熹四位教授为北京大学数学学院三年级学生合编的《应用随机过程》教材为例:

随机过程(stochastic process)是一个运动的粒子。假设我们最初将粒子放置在位置 [公式] ,然后将之挪动到位置 [公式] ,然后再将之挪动到 [公式] ,……。于是,粒子在空间 [公式] 中运动的轨道便成为一个随机变量序列 [公式] ,其中 [公式] 表示该粒子在时刻 [公式] (即运动 [公式] 步后)时所处的状态(或位置),我们称这个随机变量序列为一个离散时间参数的随机过程。因此,我们可以将随机过程理解为一条随机轨道,随机过程的本质是这条随机轨道的分布。

《应用随机过程》教材在描述、分析和解决随机游走、泊松跳跃和布朗运动问题时,均将一个质点在不同时刻的位置 [公式] 直接抽象为随机变量 [公式] ,导致研究对象从一个质点变为大量质点,必然会推导出一系列与事实不符的错误结论。

2、混淆样本函数与随机变量的区别

样本函数 [公式] 是时间 [公式] 的一般函数,所有样本函数 [公式] 在 [公式] 时刻的取值{ [公式] }才是随机变量 [公式] 在 [公式] 时刻的状态,因此,随机变量 [公式] 和样本轨道 [公式] 是两个具有不同定义域和值域的函数。

但是,《随机过程》教科书却混淆了样本函数 [公式] 与随机变量 [公式] 的区别,在研究样本函数 [公式] 的性质时,不仅直接用随机变量符号 [公式] 表示样本轨道 [公式] ,而且将随机变量 [公式] 的统计规律当作样本轨道 [公式] 的性质,从而会推导出一系列与事实不符的错误结论。

五、随机过程学科面临重大范式变革

维纳将单个质点位移抽象为随机变量的研究方法错误,不仅导致随机过程理论研究对象错位,而且也为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。因此,随机过程学科必须要迅速纠正维纳的研究方法错误,在全新范式下重建样本函数理论。

根据爱因斯坦“同一个布朗粒子在不同微小时间间隔中的运动相互独立”假设,可知单个布朗粒子的瞬时速度 [公式] 在不同时刻互不相关,因此单个布朗粒子瞬时速度 [公式] 的自相关函数可表示为

[公式]

式中 [公式] 为时间间隔, [公式] 为正实常数, [公式] 为单位冲击函数。

根据维纳-辛钦定理,平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换,可得单个布朗粒子瞬时速度 [公式] 的功率谱密度

[公式]

即 [公式] 的功率谱密度在整个频率轴上均匀分布,表明 [公式] 为平均功率为 [公式] 的白噪声 [公式] 。

将“布朗粒子瞬时速度等于白噪声”作为布朗运动定律(公理),可演绎推导出布朗运动在空间、时域及频域的所有性质及规律。

图10给出了新、旧两种范式下布朗运动样本轨道性质的研究结果。新范式与旧范式之间没有公约数,只有研究对象的不同,以及样本函数与随机变量、元素与集合、时间与空间等质的差别。

图P5.png

图10 布朗运动样本轨道性质

六、结论

李统藏的布朗粒子瞬时速度测量实验不仅颠覆了维纳 “布朗运动路径处处不可导”的著名论断,而且也颠覆了维纳的质点随机运动研究方法,随机过程学科会因无法解释李统藏的实验事实而造成整个学科危机。随机过程学科的样本轨道研究方法将面临重大范式变革并产生一系列新的重大发现,改变现有自然科学、工程技术和社会科学对动态随机现象的认识,引发一场持久广泛的科学革命,为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。




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