gaohong5250的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/gaohong5250

博文

从物理学质点运动理解随机过程

已有 1276 次阅读 2021-3-26 14:25 |个人分类:随机过程|系统分类:科研笔记

随机过程是揭示和探讨客观世界动态随机现象数量关系及其变化规律的应用数学理论,随机过程学科最早源于爱因斯坦1905年对布朗运动的定量研究,数学上的随机过程是从物理学质点随机运动现象中抽象出的一种数学结构

由于宏观可观测物理量与大量微观粒子的统计特性有关,因此爱因斯坦只关注由大量质点组成的热力学系统的统计规律,而没有去研究单个质点的随机运动规律。

1913年,18岁的维纳在完成哈佛大学的博士论文答辩后,向学校申请了旅行奖学金,并选择在英国剑桥大学留学。

维纳在剑桥大学师从英国哲学家罗素,罗素和其老师编著的《数学原理》正是维纳博士论文关注的重点。罗素的《数学原理》是关于哲学、数学和数理逻辑的巨著,也是数理逻辑发展史上的一个重要里程碑,奠定了20世纪数理逻辑发展的基础。

罗素对物理学中的重要发现有着敏锐的嗅觉,他教导维纳牢牢记住:数学很重要,但必须要有坚实的物理概念进行支撑,并建议维纳去阅读爱因斯坦1905 年发表的三篇研究论文。

维纳在阅读完爱因斯坦关于布朗运动的研究论文后发现,爱因斯坦研究的是大量布朗粒子随机运动的统计规律,而没有涉及单个微粒运动轨迹的数学性质。

与爱因斯坦关注大量质点的统计行为不同,维纳关心的是“一个质点所走曲线的数学性质”。从1920年开始,维纳发表了一系列关于布朗运动的数学论文,并给出了严格的布朗运动数学定义及性质。

一、质点随机运动与随机过程的关系

1、单个质点随机运动

假设一个质点在 [公式] 轴上从原点出发作布朗运动,则质点在 [公式] 时刻的位移 [公式] 是时间 [公式] 的函数, [公式] 的函数图像(质点位移轨迹)见图1(b)。

图P1.png

图1 单个质点位移

2、大量质点随机运动

假设大量的质点在 [公式] 轴上从原点出发作布朗运动,则每个质点在 [公式] 时刻的位移 [公式] 仍然是时间 [公式] 的函数, [公式] 。在随机过程理论中, [公式] 被称为样本函数样本轨道

图2(a)给出了大量质点 [公式] 时刻在 [公式] 轴上的位置 [公式] ,图2(b)给出了 [公式] 个质点的位移轨迹。

图P2.png

图2 大量质点位移

爱因斯坦从热分子运动扩散方程推导出了所有布朗粒子的位置 [公式] 在 [公式] 时刻的PDF(Probability Distribution Function)概率分布函数

[公式]

式中 [公式] 为扩散系数。

根据随机过程定义,所有质点在 [公式] 时刻的位置{ [公式] }就是随机变量 [公式] 在 [公式] 时刻的状态或取值。显然,所有质点在 [公式] 时刻的位置{ [公式] }或随机变量 [公式] 服从参数为 [公式] 的正态分布(图3)。

图P3.png

图3 布朗粒子正态分布

随机变量 [公式] 的方差 [公式] 与时间 [公式] 成正比,表明所有布朗粒子随时间不断向远离原点的方向扩散。

3、随机过程、随机变量和样本轨道三者之间的关系

随机过程使用二元函数 [公式] 来描述动态随机现象在空间和时间的演变过程。

对于固定的时间 [公式] , [公式] 是状态变量 [公式] 的函数,称为随机变量,简记为 [公式] ;对于固定的状态 [公式] , [公式] 为时间变量 [公式] 的函数,称为样本函数或样本轨道,简记为 [公式] 。

一个样本函数 [公式] 对应着随机试验中的一次“测量结果”,即人们观察到的实际随机现象随时间演变的过程,如图1所示的布朗粒子位移曲线,因此 [公式] 也被称为随机过程的一个“实现”。

图4为随机过程 [公式] 、随机变量 [公式] 和样本函数 [公式] 三者之间的关系示意图。

图5.png

 图4 随机过程示意图

图中的三条样本函数曲线 [公式] , [公式] 和 [公式] 可分别看成是三个随机运动质点的位移曲线,所有质点在 [公式] 时刻的位置{[公式] }(图中红点)就是随机变量 [公式] 在 [公式] 时刻的状态或取值。

随机过程 [公式] 即可成是大量随机变量 [公式] 的集合,也可看成是所有样本轨道 [公式] 的集合。

从图4的随机过程定义可以看出,随机变量 [公式] 和样本函数 [公式] 描述的是完全不同的物理现象。随机变量 [公式] 用来描述大量质点在某一时刻的空间位置分布,而样本函数 [公式] 则用来描述一个质点的位移随时间变化过程。

图5给出了物理学质点随机运动与随机过程的对应关系。

图P6.png

图5 质点随机运动与随机过程的对应关系

随机变量 [公式] 和样本函数 [公式] 是两个具有不同定义域和值域的函数。随机变量 [公式] 表示所有质点在 [公式] 时刻的空间位置{ [公式] },而不是某一个质点的位移 [公式] 。但是在很多《随机过程》教科书中,却出现了用随机变量 [公式] 来描述单个质点位移 [公式] 的概念性错误。

二、维纳过程的理论缺陷

根据爱因斯坦的布朗运动概率分布函数 [公式] ,维纳归纳总结出了布朗运动的数学定义。

定义:设{ [公式] }为随机过程,如果

(1){ [公式] }为平稳独立增量过程;

(2) [公式] ;

(3) [公式] 关于 [公式] 是连续函数;

(4)对任意的 [公式] , [公式] ,其中 [公式] 为常数。

则称 [公式] 是参数为 [公式] 的布朗运动,或维纳过程。

显然,维纳过程定义中的 [公式] 是指固定时间 [公式] 时的 [公式] 。维纳过程只定义了描述大量布朗粒子空间分布状态的随机变量 [公式] ,可以刻画大量布朗粒子随时间扩散时的空间位置分布特性。

但是,维纳过程并不涉及固定 [公式] 时的 [公式] ,也就是说,维纳过程没有对描述单个布朗粒子位移的样本函数 [公式] 进行定义。

为了研究“一个质点所走曲线的数学性质”,维纳竟将随机变量 [公式] 当作单个布朗粒子的位移,无形中将研究对象从单个质点改变为质点集合,并用随机变量 [公式] 的统计特性来描述单个布朗粒子的运动规律,得出了“布朗粒子位移服从正态分布”、“布朗粒子位移与时间的平方根成正比”和“布朗粒子瞬时速度无穷大(样本轨道处处不可导)”等错误结论。

事实上,从图3 的1000个布朗粒子的位移曲线可以看出,所有布朗粒子在 [公式] 时刻的空间位置{ [公式] }服从正态分布,而单个布朗粒子位移 [公式] 具有确定性的扩散趋势,不服从正态分布。

2010年,美国得克萨斯大学的李统藏成功地测量到了单个布朗粒子的瞬时速度,其波形为白噪声(图6)。李统藏的实验结果表明:布朗运动样本轨道的导数不仅存在,而且可观测

速度.png

图6 布朗粒子瞬时速度

李统藏的实验结果在《科学》杂志上发表后在全球引起了极大轰动,《科学》杂志为论文专门配发了录音采访,《自然》杂志随后也迅速报道了该实验。

李统藏的布朗粒子瞬时速度测量实验被Science杂志推荐为高中及大学教学内容,美国明尼苏达大学等学校的相关课程已经将该实验作为教学内容。

三、维纳研究方法对随机过程学科的影响

维纳对单个布朗粒子运动性质的研究方法,为随机过程理论的建立奠定了概念、方法和理论基础,但同时也使随机过程学科的研究对象发生错位,给随机过程学科埋下了严重的隐患,导致随机过程学科陷入范式危机。

1、直接将质点位移抽象为随机变量

以钱敏平、龚光鲁、陈大岳和章复熹四位教授为北京大学数学学院三年级学生合编的《应用随机过程》教材为例:

随机过程(stochastic process)是一个运动的粒子。假设我们最初将粒子放置在位置 [公式] ,然后将之挪动到位置 [公式] ,然后再将之挪动到 [公式] 。于是,粒子在空间 [公式] 中运动的轨道便成为一个随机变量序列 [公式] ,其中 [公式] 表示该粒子在时刻 [公式] (即运动 [公式] 步后)时所处的状态(或位置),我们称这个随机变量序列为一个离散时间参数的随机过程。因此,我们可以将随机过程理解为一条随机轨道,随机过程的本质是这条随机轨道的分布。

观察图1中一个质点位移 [公式] 随时间 [公式] 的变化过程, [公式] 是时间 [公式] 的函数,可看作是固定 [公式] 时的随机过程 [公式] ,因此,质点位移随时间 [公式] 的变化过程只能被抽象为随机过程 [公式] 中的一条样本轨道 [公式] ,而非随机变量 [公式] 。

《应用随机过程》教材将一个质点在不同时刻的位置 [公式] 直接抽象为随机变量 [公式] ,导致研究对象从一个质点变为大量质点改变了样本函数 [公式] 的内涵与外延,必然会推导出一系列与事实不符的错误结论。

2、混淆样本函数与随机变量的区别

样本函数 [公式] 是时间 [公式] 的一般函数,所有样本函数 [公式] 在 [公式] 时刻的取值就是随机变量 [公式] 在 [公式] 时刻的状态,因此,随机变量 [公式] 和样本轨道 [公式] 是两个具有不同定义域和值域的函数。

但是,《应用随机过程》教材却混淆了样本函数 [公式] 与随机变量 [公式] 的区别,在研究样本函数 [公式] 的性质时,用随机变量符号 [公式] 直接表示样本轨道 [公式] ,无形中将研究对象从样本轨道改变为随机变量,导致推导出的样本轨道性质与事实不符的。

四、随机过程学科面临重大范式变革

维纳对“一个质点所走曲线的数学性质”研究方法,混淆了样本函数与随机变量的区别,无形中导致研究对象从样本函数改变为随机变量,为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。因此,随机过程学科必须要迅速纠正维纳的研究方法错误,在时间函数范式下重建样本函数理论。

根据爱因斯坦“同一个布朗粒子在不同微小时间间隔中的运动相互独立”或维纳过程增量独立同分布的假设,可知单个布朗粒子的瞬时速度 [公式] 在不同时刻互不相关,因此单个布朗粒子瞬时速度 [公式] 的自相关函数可表示为

[公式]

式中 [公式] 为时间间隔, [公式] 为正实常数, [公式] 为单位冲击函数。

根据维纳-辛钦定理,平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换,可得单个布朗粒子瞬时速度 [公式] 的功率谱密度

[公式]

即 [公式] 的功率谱密度在整个频率轴上均匀分布,表明 [公式] 是平均功率为 [公式] 的白噪声。

图7给出了新、旧两种范式下布朗运动样本轨道性质的研究结果。新范式与旧范式之间没有公约数,只有研究对象的不同,以及样本函数与随机变量、元素与集合、时间与空间等质的差别。

图P5.png

图7 布朗运动样本轨道性质

总之,《随机过程》教科书将一个质点的位移抽象为随机变量的研究方法及结论,与物理学理论和实验结果严重不符。“与实际结合,问题驱动”是随机过程等应用数学学科发展的不竭动力和重要特征,随机过程学科的样本轨道研究方法将面临重大范式变革,其研究成果将颠覆和改变现有自然科学、工程技术和社会科学对动态随机现象的认识,引发一场持久广泛的科学革命,为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。




https://wap.sciencenet.cn/blog-3418723-1278709.html

上一篇:为什么喝醉的酒鬼找不到回家的路
下一篇:物理学实验颠覆维纳“布朗运动处处不可导”著名论断

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2021-8-6 10:33

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部