我们反复强调原子核非常复杂，也曾经说过原子核有很多标度规律，这些标度规律为我们研究原子核提供了直接的线索。在原子核质量的研究中，有一个东西我们似乎把握很大，就是原子核内质子之间的静电排斥能量，人们通常把这个能量被称为库仑能。

库仑能的数值比强相互作用能小，原子核内的相互作用主要是强相互作用，但是库仑能当然也是不可忽略的，对于重一点儿的原子核这个贡献其实还是比较大的。例如著名的裂变材料U-235原子核的库仑能900 多个 MeV。重元素不能太大，主要原因是库仑排斥能太大。原子核裂变时，库仑能大幅降低，是重核裂变过程的能量起源；在重核裂变时，产物的表面积增大，在裂变过程中库仑能付出的单核子1.5 MeV 成本中大约 0.5-0.6 MeV 的能量用于支付表面能的“税收”。这个过程我曾经在科普文章《原子能的本质是什么》中讨论过，那也是我的第一篇科普文章(科学网—原子能的本质是什么？ - 赵玉民的博文 (sciencenet.cn))。

人们对于库仑能有把握还是有一些道理的。因为每个质子在原子核内都是一个几率波的波包，许多质子在核内的分布就可以近似为一个均匀分布，在各向同性的实验室坐标空间内可以看作是一个电荷均匀分布的球体；而电荷均匀分布的电荷球体库仑能是一个再简单不过的习题。如果稍微再复杂一些，考虑到质子是全同粒子而存在交换对称性，那么这个修正的答案也是立等可取的。确实，人们平时一般也就是这么计算考虑能的，拟合给出的库仑能参数与这么简单计算给出的参数相差无几。这不是人们对于库仑能已有较好理解的最好证据吗？因为一切似乎都很好，一切都平安无事。

库仑能应该有一个直接的用处，就是所谓的镜像原子核之间的质量关系。所谓在核素图上关于质子数等于中子数那条直线两侧处于对称位置的一对儿原子核。因为核子之间的相互作用具有极高精度的同位旋不变性，人们期待一对儿镜像核质量之间的差别由质子-中子质量差(这个质量差是知道的！) 以及它们之间的库仑能差别给出。也就是说，如果我们认为同位旋对称性是严格的，同时我们有很好的库仑能结果，那么镜像核质量之间的差别等于库仑能之差和质子-中子质量差简单加在一起后得到的数值。如果这样做是可行的，我们就可以利用质子数等于中子数那条直线在中子数多的那一侧原子核质量实验结果预言质子数多的那一侧相应镜像核的质量。这样做在道理上不是很直白的吗？

现在谁也不傻，我们的前辈们当然更是聪明。在六十年代的时候人们就看这个，那时国际上做这个的人数还不少，这方面很多人瞪着眼睛看了许多年。可惜那个时代实验数据不多，而且那时的前辈们总体上不太走运 ----人们通常做事总是希望从简单开始，先看简单情况，然后再摸着石头过河；可惜人们刚一上来就被一棍子打晕了。因为质量轻的原子核内质子数也少，库仑能弱，人们期待这个同位旋对称性在最轻的原子核保持得最好，可是实际呢？那里人们刚一离开质子数等于中子数那条直线就会碰到非束缚系统，对于这种情况人们直到现在仍然很头疼；同位旋对称性在这种情况就不失灵了，特别是对于质量数比较小的系统更如此。 所以，那是人们除了指出并力图解释一些库仑能相关的异常(anomalies) 之外，对于镜像核在质量方面的对称性应该并没有那种亲切的好感。当然，离开了质量比较轻的区域，这种对称性在镜像核之间似乎还是不错的，有不少文章也提到过这一点。

但是，我们并没有库仑能的实验值来较准库仑能的计算结果，因此我们用于比较的库仑能其实也就是人为涂抹的数值结果，与实验数据“给出”的库仑能是有偏差的。如果我们要求高了，那么基于镜像核质量关系、丰中子一侧原子核质量以及计算得到的库仑能预言的丰质子一侧镜像核质量结果就显得很平庸，大约在300 keV 的精度；而怪罪就怪罪我们自己不能计算出靠谱的库仑能，否则我们还能怪罪到谁的头上呢？因为我们再也找不到其它的发泄对象了。可是这样一来，我们似乎又没有办法了，因为我们计算库仑能的能力有限嘛；沿着这条路，我们似乎也走到头了。

不过好在天无绝人之路。我们虽然没有好办法能够把库仑能算得很准，但是我们可以想办法让库仑能计算结果不精确而导致的偏差变小，这是我们问题的关键。怎么做呢？用两个相邻原子核质量差与相应的两个镜像核质量差相比较，二种情况之间的偏差当然也是由质子-中子质量差加上库仑能差给出。质子-中子质量差是知道的，而质子数等于中子数那条直线两边相互比较的库仑能在越来越远离这条直线的情况下都变小了，这样计算得到的库仑能所导致的不确定性也就变小了。这是很容易想象的，也是容易期待的；而实际效果当然也很好。

不同理论预言与实验结果的方均根偏差

上图是我们组的一张ppt, 最后5个结果是我们在不同阶段给出的理论预言与实验之间偏差的数值，前面几个是市面流行的理论模型镜像核质量的精度情况：横轴对应不同方法，纵轴表示了这些模型的精度。我们容易看出这一改进在精度上的飞跃。这些工作是在上述想法上逐步细化的(做科研的人哪一个不是看见有了一个小缝儿都会钻下去的？)。这些工作是由YYZ 和 CM 做的，我们现在和下一步仍然会继续沿着这个思路考虑一些问题。

这些细化过程中有一个很容易理解和想象的结果。不过，这个过程还有点儿小曲折。库仑能随着质子数存在奇偶性。根据我的记忆，刚开始干这个事情的时候 YYZ 就跟我提到过这个非常微弱的奇偶性；但是当时我有点茫然，胆子也太小，不敢声张，因此那篇文章里根本没有提到这一点。直至我们知道先辈们已经给出了这个直观图像以后，才利用这个结果细化库仑能问题。那么这个奇偶性源于哪里呢？

虽然静电相互作用本身没有奇偶性，但是因为质子之间[中子之间也是如此]存在同类核子配对效应，质子数为偶数时，配对效应使得最后两个质子之间距离相对比较小，导致库仑能略大。只要简单考虑这个微弱的奇偶性，质量公式的精度就可以大幅提升。这就使我们相信，这步棋肯定是走对了。

假如我们聪明一些，用现在先进的方法能否把库仑能算得更好呢？可惜啊，人算不如天算，这个效果很不如意。虽然库仑相互作用很清楚，但是很遗憾我们没有很好的波函数，核子分布其实并不太清楚，计算结果不确定度挺大的。数值实验表明，靠目前“最先进”的理论来计算库仑能并不能改善镜像核的质量关系。在现实生活中，其实也有差不多同样的例子，据说美国海军的新型濒海战斗舰堆积了很多幻影式的新技术，但是效果不怎么好；除了价格更贵之外几乎没有什么突出的长处。

这个现实也告诉我们，我们对于原子核的了解其实是多么肤浅。我们原认为比较了解库仑能，可是对于精度有稍微高一点儿的要求，我们实际上似乎又无能为力了；因为各种理论计算结果都不太好，而我们好象又没有很好的办法利用实验来直接较准库仑能的计算。

现在稍好了一些，我们直白地看出当前计算库仑能的不足，这种局部差分方法为我们面对复杂的原子核时提供了一个新思路。原子核局部质量关系很容易套用到其它物理量上去，其中最直接的是套用到电荷分布半径方面，我们组(YL、MB、CM等)在这方面也有过若干尝试。

可以肯定，原子核真的太复杂，其复杂度是远超人们想象的。这个现实当然不怎么鼓舞人心，甚至让人心烦意乱，研究复杂的原子核需要人类投入无穷无尽的精力，看来是需要发扬愚公移山精神的了；而从另一个角度上看，这对于原子核物理学家特别是青年核物理工作者不是很利好的事情吗？事情处于初级阶段，故事的终结差十万八千里。在这个意义上，理解原子核也就成了核物理学家的铁饭碗。