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存在关联多个逻辑维的计算规则么?

已有 3348 次阅读 2011-6-24 15:25 |个人分类:立体逻辑|系统分类:科研笔记| 立体逻辑

这个思考还是回到了数值压缩原理上来了。
就是回到了逻辑数是实数的压缩表达的假设上来了。
为了简单起见,我们先类比实平面上的第一象限和真假2维平面。
也就是说:实数0和真假的假对应,这是一一对应,无需压缩。
而实数x>0,则和真假的真对应,这是取穷多对一的对应,需要压缩。
这样的对应,也就是真假逻辑的二分具体化为“无有逻辑”了。
由于任意二分逻辑的等价性已经讨论过了,我们可以认为“有无逻辑”和“真假逻辑”是等价的。
即存在:
有与有 = 有
有与无 = 无
无与无 = 无
有或有 = 有
有或无 = 有
无或无 = 无
非有 = 无
非无 = 有
“有”用“1”表示;“无”用“0”表示。就是布尔逻辑的0,1运算规则了。
现在的任务,是要将实平面上1象限定义的实数运算,看看怎么能“压缩”到这个“逻辑平面”上来?压缩出来会是什么样子?
 
还是先回忆一下1维非负实数射线轴压缩为1维真假直线段轴的情况吧:
我们考察在1维非负实数上定义的加法和乘法。
1.加法考察
a + b = c;(a,b,c∈R+),R+表示非负的实数集。
现在开始压缩。
对于任意的非负实数x,我们可以建立如下映射:
x->0(x=0);x->1(x>0).
于是,a+b=c的计算规则就变为:
0+0=0
0+1=1
1+1=1
正好是布尔逻辑的或运算规则。
 
2.乘法考察
不用推导了,我们可以直接写出结论:
对于非负实数上定义的乘法,我们经过数值压缩之后,得到的计算规则正好是布尔逻辑的与运算规则:
即:
0*0=0
0*1=0
1*1=1
 
现在进入2维实平面的第一象限来考察,同样考察加法和乘法。
在二维实平面的第一象限,是由一对非零实数组成的平面。
(x,y),其中,x,y,∈R+,R+表示非负的实数集。
1.加法考察
x + y = z
有谁来告诉我:在正交的X,Y轴上,任意2个实数相加,是什么含义?结果落在哪个轴上?
如果不知道二维上的加法含义,我们就暂时忽略它。
 
2.乘法考察
x*y=z
这个不用帮忙,我知道2个正交维上的非负实数相乘的结果的含义,正是一象限上的一块面积的大小。
于是,使用数值压缩原理。
将x,y,z压缩为0,1表示的逻辑数,就有:
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 1 = 1
和真假逻辑的与运算的规则相同。其逻辑语义是:
在X,Y两个非负方向上个取一种情况来组合考虑:只有x方向和y方向都有,那么,结果就是有,只要1个方向上没有,结果就没有。这里,“结果”的含义仍然可以取“面积”的含义,就是面积有没有的逻辑状态。
 
对二维的加法怎么办呢?是不是,只有在1维上才能相加呢?,似乎也不是:
向东走过30米,再向北走过40米,总共加起来走了70米。是可以相加的啊!
可这70米,记在哪个轴上呢?只能X轴记30,y轴记40了。也就是,结果不能只记在一个轴上了。
我们可以知道,这个结果,在二维的平面上,其实和直接从原点按直线走到(30,40)的效果是等价的,那样就只需要走50米了。所以,对于二维的加法,其二维的意义其实应该是:
x + y = sqrt(x^2+y^2).
结果记在从(0,0)指向(x,y)的直线上。
可见,不同维上的变量相加,结果在该平面上的一条直线上。在那条直线上,当然也是一个1维的非负实数空间。
所以,两个正交一维非负实数空间上各取一个数值相加,结果会在与他们斜交的另一个非负的实数空间上。
于是,利用数值压缩原理,我们得到,二维有无逻辑空间上的加法运算是:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1(x无y有)
1 + 0 = 1(x有y无)
1 + 1 = 1
同样也符合布尔逻辑的或运算。
也就是说,实平面上的第一象限除原点之外的所有的任意1点,包括数轴上的点,都是对应逻辑状态“有”的,只有原点,才对应逻辑状态“无”,这里的“有”和“无”,是指该点到原点的距离。
而二维乘法则是指某点和原点为对角线的矩形的面积。
相应的逻辑有无状态与数值状态结果完全一致。
 
至少在实平面上的一象限的数值压缩是成立的。压缩后的有无逻辑和真假逻辑是等价的。
而且,
压缩后的加法运算等价为逻辑或运算;
压缩后的乘法运算等价为逻辑与运算。
 
如果我们逐个象限运用上述的数值压缩原理,我们会得到这样的结论:
整个实平面经过数值压缩后形成4个逻辑平面区域,每个逻辑平面区域都至少“各自符合”真假逻辑运算规则,而且:
压缩后的加法运算等价为逻辑或运算;
压缩后的乘法运算等价为逻辑与运算。
也就是说:在实平面上,只有原点对应“无”,其他任意一点都对应“有”。
显然,这里的“无和有”具有准确的逻辑语义,就是:实平面上任意1点“离原点的距离”或者“和原点夹成的矩形面积”。
 
似乎二维实平面压缩为一个有无逻辑平面已经没有问题了。
如果还要刁难一下,可以看看这个问题是不是问题:
在 1+1 = 1 和 1*1 = 1 中,等式右边的两个“1”,它们的语义是等价的吗?
为什么要问这个问题?
因为在真假逻辑中,所有的真,都是一个含义,不需要区分是什么计算式得到的结果。
而在二维的有无逻辑中,显然,第1个“1”表示逻辑点和原点“有距离”,而第2个“1”则是逻辑点和原点“有所夹矩形面积”。
虽然都是“有”,但两个“有”,可以不加区分吗?


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