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突破终极限制的数——极数

已有 547 次阅读 2021-6-7 10:57 |个人分类:虚构开放世界|系统分类:科研笔记

本文是对“如果允许除数为零会怎么样?——反数可以有”一文的重新整理,将反数概念重命名为“极数”。




突破终极限制的数——极数

什么是极数

给定一个数域,考察运算:加、减、乘、除。

存在限制:为了遵守【在数域中任取两个数,经所考察运算后结果仍在数域中】的规则,需要对运算的取数规则做出一些限制。

常见的限制类型是:

L1:小于a的b,不可以去减a。

L2:a不能用【不是它的因素的b】来除。

L3:除数不能总是连续除运算的结果。

L4:一个数乘以自己不能得负数。

L5:除数不能为0(0不能做因素)。

不同的数域,存在在运算取数规则上的不同限制,而数域的拓展,得益于突破原有数域在运算取数规则上的限制。

保留限制:在数域中必须遵守的运算限制。

突破限制:在数域中不必再遵守的运算限制。

从不同数域保留限制和突破限制的的趋势上看,可导出端数和极数的概念,如下表:

序号

数域

示例

代号

代数

保留限制

突破限制

1

自然数(Natural)

n = 0,1,2,3,...

N

n

L1,L2,L3,L4,L5


2

整数(Integer)

i = ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...

I

i

L2,L3,L4,L5

L1

3

有理数(Fraction)

f = ...,-3/m,-2/m,-1/m,0/m,1/m,2/m,3/m,...  (m∈N,m≠0)

F

f

L3,L4,L5

L1,L2

4

实数(Real)

r = m1+(1/(m2+(1/(m3+(1/(m4+...))))))  (m1,m2,...∈N)

R

r

L4,L5

L1,L2,L3

5

复数(Complex)

c = r1+r2i (r1,r2∈R; i=sqrt(-1))

C

c

L5

L1,L2,L3,L4

6

极数(Extreme)

引入端数t = 1/0,定义极数:x = c1+c2t  (c1,c2∈C)  

X

x


L1,L2,L3,L4,L5

极数的本质

实数r的本质:将单位数1有限缩小或放大一个量度。

零数0的本质:将单位数1缩小1个极端的量度。

端数t的本质:将单位数1放大1个极端的量度。

虚数i的本质:将单位数1旋转90度。

0乘以任何数不等于0,等于该数的极小数,其意义是对该数极小化一次。0*x=x/t;(t=1/0)

任何数除以0不再没有意义,其意义是对该数极大化一次,得到该数的极大数。x/0=xt;(t=1/0)

从几何角度来看极数的意义

射影几何中用齐次坐标表示一个点在射影空间中的位置。

即用射影空间中的位置(wx,wy,w)来等价表示投影平面上的位置(x,y),取w=0表示“无穷远”点。

在证明射影几何中平行直线相交于无穷远点时,实际上已经使用了1/0量,也就是使用了端数。

如果承认端数的存在,那么,在无穷远处应该存在一个无穷大的“极平面”。

事实上,射影几何只是一种从近平面投射到极平面的“投射几何”的特例,

即是,从极平面上的一个点投射到整个近平面的极端放大的投射几何。

也可以是从整个极平面投射到近平面的一个点的极端缩小的投射几何。

而更一般的情况则是:从近平面一个区域到极平面的另一个区域的、相互的共形投射几何。

从代数角度来看极数的意义

极数的引入,让群更完备,完美。

0作为加法群中的幺元没有影响;对1作为乘法群中的幺元也没有影响。

0作为乘法群中的零元可以取消,因为已经找到了它的逆元,就是端元t。

极数让乘法群和除法群彻底对偶,还可以进行多级的极端化对偶。

误差来源,就是忽略了t=1/0,即0=1/t,根本不需要0,只需要1/t。


希望:

希望在解某类方程找不到复数解时,可以通过“极数解”作为桥梁,成功得到复数解。



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