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再次理解“空间”——计算共形几何学习笔记2

已有 1544 次阅读 2020-6-19 20:00 |个人分类:虚构开放世界|系统分类:科研笔记| 空间, 连续空间, 拓扑空间

既然一根橡皮筋可以看作是一个空间的例子。

所以,就可以对照橡皮筋这个例子,来理解空间的很多抽象特性概念。

基本概念

一根橡皮筋有长度,对应空间就有大小。

一根橡皮筋有起点和终点,对应空间就有边界。

一根橡皮筋由相邻的无穷小橡皮粒子组成,空间由相邻的无穷小的点组成。

一根橡皮筋的每个橡皮粒子都是一个位置,空间中的每个点都是一个位置。

一个橡皮筋的相邻橡皮粒子之间的位置关系不同,橡皮筋就会变成不同的形状。空间中相邻点的位置关系的不同,空间就具有不同的结构。

连续空间

一根橡皮筋可无限拉伸,对应空间是稠密的,相邻位置之间没有缝隙。

一根橡皮筋的微套管可平滑移动,对应空间是平滑的。

一根橡皮筋具有上述两项特性,对应的空间就是连续空间。

空间连续是空间结构上的一个特征。

接下来我们只讨论这种橡皮筋,数学上只研究连续空间,以下的空间就只指“连续空间”。

维度

假设橡皮筋可以双向延伸,对应空间就有维度,

假设橡皮筋只能在长度方向左右延伸,对应空间就就是1维。

假设橡皮筋能在宽度方向上下延伸变成橡皮膜,对应空间就就是2维。

假设橡皮膜能在厚度方向上下延伸变成橡皮块,对应空间就就是3维。

单值化

长度为1的橡皮筋可以拉伸到任意长度,单位空间可以变换为任意大小的空间;反过来任意长度橡皮筋可收缩到单位长度,任意大小的空间就可变换为单位空间;这就叫空间的“单值化”。

有了单值化,就可以忽略空间的大小,简化空间研究。

单位橡皮筋可代表任意橡皮筋,单位空间就代表了任意空间。

空间的结构

橡皮筋可以有形状,对应空间就有结构类型。

如果橡皮筋的形状变化有可计算的规律,那么对应可计算的规律就是空间的结构。

假若橡皮筋只能保持平直,对应空间就是平直空间,空间的结构是直线方程,微套管只能按直线平滑移动。

假设橡皮筋弯成了圆/椭圆形,对应空间为圆/椭圆形空间,空间的结构是圆/椭圆方程,微套管只能按圆弧平滑移动。

假设橡皮筋弯成了抛物线,对应空间为抛物线空间,空间的结构是抛物线方程,微套管只能按抛物线平滑移动。

假设橡皮筋弯成了双曲线,对应空间为双曲线空间,空间的结构是双曲线方程,微套管只能按双曲线平滑移动。

假设橡皮筋弯成的曲线是某个函数曲线,对应空间为该函数曲线空间,空间的结构是函数曲线方程,微套管只能按函数曲线平滑移动。

假若橡皮筋是任意弯曲的,对应空间就是任意弯曲空间。

距离

橡皮筋的微套管平滑移动的长度就是距离。

所以,不同空间结构上的距离的定义就不同。

直线空间上的距离是直线长度。

弯曲空间上的距离是曲线的长度。

定义距离的方法就是空间的“骨架”。

拓扑空间

可任意弯曲变形的橡皮筋没有距离的概念,只有橡皮筋相邻点的关系保持不变。

这样的空间就叫“拓扑空间”,拓扑空间只保持点的邻接关系不变。

“拓扑空间”是没有骨架的空间。

拓扑空间是最“简单”的连续空间,因为它需要的概念最少。

所以,研究拓扑空间,就能认识空间的最根本的特性。

一根线的橡皮筋可以变形为任意其他的线状橡皮筋,称所有的线状橡皮筋拓扑等价。

一根圆圈状的橡皮经可以变形为任意其他的圈状的橡皮筋,称所有的圈状橡皮筋拓扑等价。

但一根线状橡皮筋永远也变成不了一个圈状的橡皮筋,反之亦然。线状和圈状橡皮筋拓扑不等价。

具有拓扑等价空间的事实是用来“测量”空间的基本性质的一个工具。



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