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刘瑞祥:通过一个例子,讲一讲极限定义的问题

已有 1833 次阅读 2023-4-27 08:23 |个人分类:数学|系统分类:科普集锦

  据说全世界的大学生都对极限的定义感觉头疼。本文就试着帮大家梳理一下,希望会有效果。

  这个定义让人觉得困难的原因在于,它本身有好几个连接词,又有很多种形式,另外这个定义的直接应用——证明函数的极限——也让人难以理解。下面我就针对这几方面作以介绍。

  下面是这个定义的两种形式:

任给ε>0,总存在N,使得x>N时,|f(x)-A|<ε恒成立。这时我们就说当x趋于+∞时,f(x)的极限是A。(形式1)

任给ε>0,总存在δ,使得0<|x-x0|<δ时,|f(x)-A|<ε恒成立。这时我们就说x当趋于x0时,f(x)的极限是A。(形式2)

  这两种形式说的是什么意思呢?以形式1为例,意思就是:当x足够大时,f(x)会足够靠近一个定值。首先,什么叫做“足够靠近”?就是要多近有多近:完全相等当然是一种“足够靠近”,有时作不到就退而求其次,放不下任何一个有限大小的值,也可以。其次,这里只需要考虑x很大时的情况,至于x不太大的时候怎么样,是不需要考虑的。而什么才是x很大呢?当然就是要让f(x)和极限0的差(的绝对值)永远小于ε。

  接下来我们看如何用这个定义证明极限。本文我们要证明的是函数sin(x)/x,当x→+∞时,极限为0。证明方法当然是依赖定义,也就是说,对于任何一个ε>0,看能不能找到合适的N。我们把要研究的不等式以及这里涉及的函数图形列在下面(图像被纵向拉长了,这不影响我们的讨论):

|sin(x)/x-0|<ε

image.png

  我们从图像中可以看出,无论这个ε多么小,只要它还是正数,那么x=kπ(k=1,2,3....)总可以满足这个不等式。然而,这并不是我们关心的。因为我们不能保证x比kπ略大时,函数值(的绝对值)仍然小于ε【比如我们设ε为0.1,那么虽然x=2π时函数值为0,但x=2.5π时函数值大于ε】 。换句话说,我们的任务并不是去求前面所给不等式的全部解集,而是要找到这样一个区间:当x位于这个区间里时,f(x)与所要证明极限的差的绝对值恒小于ε,同时对于本例来说,这个区间的右侧必须是∞。这样一来,x=π、2π、3π等等附近的区间就不能用了。怎么办呢?

  我们索性把要证明的函数放大一下,看看1/x。显然,当x>1/ε时(本文只讨论正数情况),

|1/x-0|<ε

成立,而又因为|sin(x)|<1,所以当x>1/ε时肯定会有

|sin(x)/x-0|<ε

成立。这对我们证明极限已经足够了,这个1/ε就可以当做定义里的N。假如ε是0.001,那么N就是1000,x就得大于1000,假如ε是0.0001,那么N就是10000,x就得大于10000……而其它比较小的值一概不论,没有意义。因为对于任何一个大于0的ε都可以找到对应的N,那么和前面的定义对照一下,就能看出来确实是满足定义了。

  关于这个定义的其它形式,大家总可以按照以上思路自己捋清楚。

  希望本文能帮助那些苦苦挣扎在定义里的学生。



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