《Galois theory》

H.E. p. 56 (S42)

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2. Show that a subgroup H of a group G partitions a presentation of G into presentations of H and, in particular, that the number of elements in H divides the number of elements in G.

---- 群 G 的子群 H 分割 G 的表述为 H 的若干表述，并且 H 中元素的个数整除 G 中元素的个数。

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证明：考虑 G的元素 n = 6 的情形。此时 G 的表述是 6 x 3 的阵列：

a  b  c

b  a  c

c  b  a

a  c  b

b  c  a

c  a  b

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写到这里需要温习“子群”的概念...

---- 子群是包含在另一个群中的群。

---- 按第一个练习：置换集构成群当且仅当其成员按复合运算封闭。

---- 按本练习的提示：子群的情况取决于大群的元素个数的因子分解。

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评论：对于元素个数 n = 6 的大群，存在因子分解：2 x 3 或 3 x 2 两种方式 (计顺序)。

..................................................S............T............U....................ST..........................TU

先写出大群的置换：G = {e, a <~> b, a <~> c, b <~> c,  a <~> b & a <~> c, a <~>c & b <~> c }，或者写成 G = {e, S, T, U, ST, TU}。

---- 大群的 6 个置换是以第一行作为 “参照排列” 得出的。

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现在来构造 G 的子群。

---- 按练习1的证明，置换群 G 的任何非单位元做若干乘幂运算 (自我复合)，可以得到单位元，此时给这个乘幂减少一次，就得到非单位元的逆元。

---- 这样，取非单位元和它的逆元，再添上单位元就封闭了，从而得到一个 (子) 群。

---- 对于上述 G，取 S, T 或 U 中的任一个，做一次乘幂就得到单位元 (回去了)，这样逆元就是它自己。

---- 于是有三个 (单一置换) 二元子群：{e, S}, {e, T}, {e, U}。

X ---- 对 ST 做一次乘幂：ST·ST = S^2·T^2 = e·e = e。(置换群是可交换群)。TU 也有类似结果。而 SU = ST · TU 也有类似结果。

X ---- 于是有三个 (复合置换) 二元子群：{e, ST}, {e, TU}, {e, SU}。

---- 实际上，只要保证封闭即可...

---- 比如四元子群: {e, S, T, ST}, {e, T, U, TU}。

---- 比如三元子群: {e, S, STS}, {e, T, TST}, {e, U, UTU}, {e, S, SUS}, {e, U, STU}, 等等。

? ---- 回到二元子群，可以有(三复合)：{e, STU}，等等。

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以上四元子群似乎是“不允许的”：违反了整除关系 (4 不整除 6)...

---- 明白了，TST 跑出了 {e, S, T, ST}。

---- 之前只顾着看 ST 在里头了。

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小结：以上初步探究了 6 元置换群。(一下子还拿不出证明！)

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