《Galois theory》

H.E. p. 56 (S42)

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Fifth Exercise Set

1. Show that a set of substitutions of n objects a, b, c, ... is a group if and only if it is closed under composition.

---- 置换的集合构成群当且仅当它在复合运算之下封闭。

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证明：1) 置换的集合(记作 C)构成群 ==> 它在复合运算之下封闭。按照群的定义，这是显然的。

2) C封闭 ==> C是群。

---- 假定 n = 1。设 C = {d}，由封闭性 d^2 = d。这意味着 d = e (单位置换)。即 C 构成群。

---- 假定 n =2。设 C = {s, t}。由封闭性，s·t = s 或 s·t = t；两者只能居一，不妨设前者成立。则 s 是单位元，其逆元是自己。又由封闭性，t^2 = s 或 t^2= t。后者不可能，因为 s 和 t 不相等，从而 t 不是单位元。则只能有 t^2 = s。从而 t 的逆元是自己。而对于置换的复合，结合律是自然成立的。

---- 对于一般情况。C = {s, t, ...}，假设有 m 个元素。取 C 中任何非单位元，设为 t。接着构造 m个元：t^2, t^3, ..., t^m, t^(m+1)，则由封闭性它们都在C中。则它们当中至少有两个等于 C 中 t 以外的同一个元 (设为 s)，即 s = t^u = t^v。设 v >u。则 s = s·t^(v-u)。则 t^(v-u) 为单位元 (v - u > 1)。设 t 的逆元为 p。则 t·p = t^(u-v)。取 p = t^(u-v-1)。至此已经证明，C 中有单位元而且任何非单位元都有逆元。证毕。

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评论：从证明中可以看到置换群的单位元及逆元的具体构造。

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