《Galois theory》

H.E. p. 55 (S42)

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第四段

As a final example, consider the equation x^4 + 1 = 0 (the equation for the primitive 8th roots of unity).

---- 作为最后的例子，考虑方程 x^4 + 1 = 0 (本原8次单位根的方程)。

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评论：此例是 x^p - k = 0 的特例。p = 4 确保了 “可解”，k = -1 则具有“单位性”。

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If a is any root then so are a^3, a^5 and a^7, and the group of the equation is easily seen to be contained in the group presented by

a       a^3   a^5   a^7

a^3   a       a^7   a^5

a^5   a^7   a       a^3

a^7   a^5   a^3   a   .

---- 如果 a 是任何根，则 a^3, a^5 and a^7 也是，并且容易看出该方程的群包含在(所示的阵列) 表述里。

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As before, if K is the field of rational numbers, then the Galois group of the equation is the entire group of four elements presented above (Exercise 11).

---- 像之前那样，如果 K 是有理数域，则该方程的伽罗瓦群是如上表述的包含四个元素的整个群 (练习 11)。

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评论：k = -1 使得 k 在 K 中没有 p 次根 (参第三段最后一句)。此处 p = 4。

第五段

For explicit presentations of the Galois groups of cubic equations see Exercises 6 and 7.

---- 三次方程的伽罗瓦群的显式表述见练习 6 和 7。

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小结：完成 S42 读写。

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