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[注:下文是群邮件的内容。]
J.P.S. p.73 * * * 13:30 Corollary. Let n be an integer ≥ 1, prime to the characteristic of k. ---- 令 n 为自然数,并且与 k 的特征互质. ---- 基本域 k 的特征是什么 ? . Let μn be the group of n-th roots of unity (in ks). ---- 令 μn 是第n个单位根的群 (于ks). . We have: H(k, μn) = k*/k*^n. ---- 则有 H(k, μn) = k*/k*^n. . 评论:给出例子 H(k, μn) = k*/k*^n. ---- Gal(ks/k) 作用于 A(ks) 得到 k*/k*^n. ---- 此处 A(ks) 取 μn. ---- k* 含义待考.(?) . 注:以上是推论的叙述. . We have an exact sequence: 1 --> μn --> Gm -n-> Gm --> 1, where n denotes the endomorphism x -> x^n. ---- 我们有精确序列: 1 --> μn --> Gm -n-> Gm --> 1,n 代表 自同态 x -> x^n. . 评论:箭头序列在代数中挺常见,其含义待考.(?) ---- 凡是常见的都是“方法”. ---- 此处的精确序列似乎出于作者的设计和构造. . From this follows the cohomology exact sequence: k* -n-> k* --> H¹(k, μn) --> H¹(k, Gm). ---- 由此得上同调精确序列: k* --> k* --> H1(k, μn) --> H¹(k, Gm). . The corollary follows since H¹(k, Gm) = 0, by prop. 1. ---- 由命题1 H¹(k, Gm) = 0 从而推论成立. . 注:以上三句是推理的证明 (两个序列结合命题1). ---- 证明省略了“proof”,系非正式风格. . Remarks. 1) The same argument shows that H²(k, μn) may be identified with Brn(k), the kernel of multiplication by n in Br(k). ---- 可能用到了 H²(k, Gm) = Br(k).(?) . 2) If μn is contained in k*, one may identify μn with Z/nZ by choosing a primitive n-th root of unity. ---- 若 μn 含于 k*,则可让 μn 和 Z/nZ 相等 (通过选择原始的第n个单位根). . The corollary above thus gives an isomorphism between the groups k*/k*^n and Hom(Gk, Z/nZ) = H¹(k, Z/nZ). ---- 上述推论给出了群 k*/k*^n 和 Hom(Gk, Z/nZ) = H¹(k, Z/nZ) 之间的同构. . We recover the classical “Kummer theory” (cf. Bourbaki A.V. S11.8). ---- 我们恢复了经典的 Kummer 理论 (参见...). ---- Kummer 理论该是指上述同构. . 小结:推论给出了例子 H(k, μn) = k*/k*^n,并联系到 Br(k) 群 和 Kummer 理论. . 注:完成了 Ch2.S1.(共两页) * * * 16:00 |
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GMT+8, 2024-3-29 22:38
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