《Galois cohomology》

学而不思则罔

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1. Galois 群 Gal(K/k) 作用 到离散群 A(K) 就得到 H^q. 

---- 可以这样做是因为 Galois 群是 profinite 群.

(第一章讨论 profinite 群)

修改四角图：

K/k       Gal

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k            K

注：Galois 群是工具，更适合放到 “将” 位.

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2. 将 A(K) 放到 “函子”观点下说明 K/k 不固定更方便.

---- 考虑 “类” case(k) 和 cg 之间的 “态射”: K ~> A(K).

---- 这个态射称作函子，其值为 A(K).

---- 简单起见 A(K) 也称为函子.

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3. 函子 A(K) 符合三条公理. 可以概括为：A(K) 的构造 以及 A(K) 和 A(K') 的关系.

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1)  A(K) 可看作 { A(Ki) } 的极限.

---- K 是 finite type over k.

---- Ki 是 K 的子扩张.

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推测：诸 Ki 是递进的包含关系 K1 ⊂ K2 ⊂ ... ⊂ K.

(类比：Q ⊂ R ⊂ C).

问题：域的子域之间只有包含关系吗？是否存在彼此部分地相交的两个域？

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2) A(K) 和 A(K') 保持单射且彼此差一个 Galois 群.

---- A(K) = H⁰(Gal(K'/K), A(K')).

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注：这里的假定是 K' 比 K 更大，即 K ⊂ K'.

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评论：关于这三个公理为什么是这几条以及它们到底要说什么留待以后思考.

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观察：一方面 A(K) 是 { A(Ki) } 的极限，另一方面 A(K) 又是 H⁰. 于是 H⁰ 成了 { A(Ki) } 的极限. 换句话说，对于零阶的 Galois cohomology 可以有极限刻画.

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小结：这部分内容可以 1~3 为纲进行识记.

* * * 12:05