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“执行定理”的证明(a)
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周到起见, 先温习 Th1.6 的叙述.
---- 大意是, 有配对 (X, B), 又有 A 和 M...
---- 各自符合某种条件, 希望证明:
---- lct(X, B, |M|) 和 lct (X, B, |A|) 存在正下界.
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评论: 上面的 lct(·) 是基本概念, 可看作某种泛函:
lct(X, B, |M|) = sup{ t>0 | (X, B + tM) lc, for every M∈|M|}.
注: 符合条件的 t 可以暂时想象成 (a, b), 则上确界为 b.
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Proof. (of Theorem 1.6) By assumption, |A - M|R ≠ Ø, so A ~R M + N for some N ≥ 0.
---- |A - M|R ≠ Ø 中的 |·| 不是指绝对值, 而是指...
---- 某种集合 |A - M|R = {D ≥ 0 | D ~ A - M }.
---- 通俗地说, 该集合以 A - M 为代表, 其它元素都与之等价.
---- “~R” 略作 “~”, 指代 “等价”, R 是指在实数范围内考虑.
---- 此处的“等价”姑且看做线性同构.(?)
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评论: 按集合里的关系(取 D 为 N), 有 N ~ A - M ==> A ~ M + N.
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Thus lct(X, B, |M|R) ≥ lct (X, B, |M + N|R) = lct(X, B, |A|R)...
---- 由等价关系 A ~ M + N 可知, |A|R 和 |M + N|R 是两个相等的集合, 则对应的 lct 值也相等(从而那个等式成立).
---- 关于 lct(X, B, |M|R) ≥ lct (X, B, |M + N|R)...
---- 左边 = sup{ t >0 | (X, B + tM) lc }.
---- 右边 = sup{ t >0 | (X, B + t(M + N)) lc }.
注: 按条件, M, N, B 都是非负的.
---- 假定合乎要求的 t 集合构成单个区间.
---- 右边的集合似受到额外的限制( tM 外加 tN).(?)
---- 由此, 左边集合的范围会更大, 从而上确界更大.
---- 即 左边 ≥ 右边.
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... so it is enough to give a positive lower bound for the right hand side.
---- 按照定理的要求, 证出 右边 有正下界 即可.
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评论: 彻底搞清了第一句和第二句的等式部分; 大致理解了不等式; 定理中的第四条的来由得到体现.
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小结: 不等式的严格证明待考.
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