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隙函数是严格递减吗？
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Step7b 涉及的概念(cf. 2.2).
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1. 隙函数 (log discrepency)
---- 指泛函 a(D, X, B), 其中 X 和 B 构成配对, D 是 prime divisor.
---- log 盖指 “对数”, 但并没有明显的体现, 故不译出.
注: 知道 a(D, X, B) 可看做函数即可.
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2. 配对的三种奇异类型.
---- ....... lc ~ a(D, X, B) ≥ 0.
---- ...... klt ~ a(D, X, B) > 0.
---- eps-lc ~ a(D, X, B) ≥ eps.
其中, 不等式对每个D都成立.
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评论: 隙函数的用处之一是定义配对的奇异类型, 如上。
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3. klt 是 lc 的子类.
---- lc 是指, 对每个D, 都有 a(D, X, B) > 0 或 a(D, X, B) = 0.
---- klt 是指, 对每个D, 都有 a(D, X, B) > 0.
注: lc 的一般情况是, 对有些D 有 a>0 而对其它有 a = 0.
---- 但若对所有D 都有a >0, 称作 lc 并不违背定义.
---- 只是此时称作 klt 更有区分度.
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以下就 Step7b 做点技术攻关.
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1. a(T, V, Δ + 1/u M) ≤ a(T, V, Δ) - 1 (≤ 0).
---- 此式像从天上掉下来的, 很突兀.(?)
---- 上式右端 ≤ 0 是之前推导出来的.
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评论: “抓两头” 即, a(T, V, Δ + 1/u M) ≤ 0.
---- 隙函数小于或等于零, 意味着 配对 (V, Δ + 1/u M) 非 klt.
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2. 由Th1.6, 存在正数 t ...使得 (V, Δ + tM) 是 klt.
---- 如果直接套用 Th1.6, 则并没有提及 klt: 而是
---- lct(V, Δ, |M|) ≥ t.
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插播一条定义 lct(V, Δ, |M|) 是指
---- sup{t | (V, Δ + tM) is lc for every M ∈ |M|}.
---- Th1.6是给上述 上确界 给出了下界.
---- 没错, lct 本身是一种 上确界(上界中最小的).
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简练地说, 存在最小的 t, 使得 (V, Δ + tM) 是 lc 型.
---- .......................即 a(T, V, Δ + tM) ≥ 0.
---- 问题是：如何排除 a = 0 的情况, 变成 klt ?
---- 刚才(往上数三段) a(T, V, Δ + 1/u M) ≤ 0.
---- 粉色式子是否意味着排除了蓝色式子 a = 0的情况?
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设想 a(T, V, Δ + xM) 是 x 的函数(其它对象固定并省略) a=a(x):
↑a(x)
|
|--------→x
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评论: 为了能说得通, 可以假定 隙函数 a 是关于 x 的严格减函数.
---- 已知 a(1/u) 非正, 若 a(t) 严格为正, 则 t < 1/u.
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小结: 理解Step7b的关键是在于三个问号和一个假定(隙函数严格减) .
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