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 大学数学系该尽早让本科生接触一流学术文章。

因为，对于此类文章的陌生感和敬畏感不会因为

学习了基础而减少。相反，在学习基础知识时建

立的心理障碍会阻断深入了解数学的兴趣。如果

一开始接触这类文章，晓之以方法和意义（而不

是吓唬人），完全有可能提高学习的动力。这与

为了看懂日本动漫而去学习日语是一个道理。按

“顺序”学习，仅是直观假设，恰恰违背了认知

顺序。真正自然的认知顺序该是乱七八糟的，就

像做研究那样。做学问无它，无非是怀着某种愿

望、按照对方法的理解，持久地做试验而已。

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注：调整了边框的宽度.

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学习笔记(接前)。引言部分，1.11。

Theorem 1.11. Let X be a perfectoid space over K with tilt Xᵇ over Kᵇ. Then tilting induces an equivalence of sites Xet ≌ Xᵇet.

---- 令 X 是 K 上的完形空间，对应的倾斜为 Xᵇ 在 Kᵇ 上. 则倾斜(操作) 可推出 Xet ≌ Xᵇet.

---- Xet 称作 X 的 etale site (扩展位).

---- etale 是法语词汇（第一个e头上带撇，省略了），英译为 spread (有扩展、铺开、蔓延之意).

评论：此命题是说，完形空间及其倾斜的扩展位彼此等价.

.

As a concrete application of this theorem, we have the following result.

---- 作为定理的具体应用，有如下结果.

(该是指下文的定理1.12).

评论：看来老外挺看重“用处”的.

.

Here, we use the etale topoi of adic spaces, which are the same as the etale topoi of the corresponding rigid-analytic variety.

---- 此处使用了进制空间的扩展主题，它与对应的严格解析簇的扩展主题是同样的.

---- 强调了 adic spaces 与 rigid-variety 的 etale topoi 是一样的.

(原作将采用 adic spaces 发展自己的理论).

.

In particular, the same theorem holds for rigid-analytic varieties.

---- 同样的定理也对严格解析簇成立.

.

小结：完形空间及其倾斜的扩展位彼此等价(Xet ≌ Xᵇet).

​符号大全、上下标.|| 常用：↑↓→←↦∞π ΓΔΛΘΩμφΣ∈∉∪∩⊆⊇⊂⊃≤≥⌊ ⌋ ⌈ ⌉≠ᵒ⁺⁻⁰¹²³ᵈ ₀₁₂₃ᵢ

*温习：1.10

<R, S/R> ==> <S, Sᵒ/Rᵒ>.

---- 由 完代数 R 和它的有限扩展(etale) S/R 可得到 完代数 S 和 它的几乎有限扩展 Sᵒ/Rᵒ.

---- 上面尖括号是简记法：<完, 扩> ==> <完, 扩>.

---- 此处 “完” 指 “完代数”, “扩” 指 “etale”.

​浓缩：

---- K°/p  ≌ Kᵇ°/p.(para.3a)

---- Kᵇ = lim<K, x ↦x^p.(para.3b)

----  (x)d --> (x#)d

.........↑..分裂域..↓

      [Kᵇ] ~>  [K]c

注： x:=ak^δn.(para.3c)

---- ndv(1)~K~(Φ)=Kᵒ/p.(Def.1.2)

---- Kᵇ(p)~Fontaine~K.

---- {​K} ≌ {Kᵇ}. (Th1.3)

---- A&sup1;Kᵇ ≌ lim<A&sup1;K (T↦Tᵖ). (Claim1.4)

---- X(K)~Xᵃᵈ(K)~|Xᵃᵈ|.

---- |(A&sup1;Kᵇ )ᵃᵈ| ≌ lim<|(A&sup1;K)ᵃᵈ| (T↦Tᵖ). (Th1.5)

---- 完域 K-代数 R(K) 是指：Banach K-代数，Rᵒ 有界，(Φ) = Rᵒ/p. (Def.1.6)

---- C ≌ Cᵇ  (Def.1.7a)

---- X = Spa(R, R⁺)(Def.1.7b)

---- X ≌ Xᵇ. (Def.1.8a)

---- U~>(Ox(U), O⁺x(U))~>(·,·)ᵇ. (Def.1.8a)

---- 仿完空间 ~gluing ~> 完(形)空间. (Def.1.8b)

评论：主线索：完域(K) ~> 完域K-代数~>完仿K-代数~>仿完空间~> 完空间.

K ~> R(K) ~>(R, R⁺) ~> X(R, R⁺) ~> P(K).

---- {P(K)} ≌ {P(Kᵇ)}. (Def.1.9)