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神会让我们来精神~
||
······"大学的教育很大程度上是在一个神话的世界
中进行的,即基于未经证实的假设和没有根据的
信念推进的。神话指导的教学,其质量自然就是
“皇帝的新装”。链接->oo
······注：调整了边框的宽度.
* * *
学习笔记(接前)。引言部分，1.10。
Theorem 1.10. Let R be a perfectoid K -algebra. Let S/R be finite étale. Then S is a perfectoid K -algebra, and Sᵒ is almost finite étale over Rᵒ.
---- 从完代数 R 出发，若找到 R 上的 S 是 finite étale. 则 S 就成了(新的)完代数，而 Sᵒ 在 Rᵒ 上几乎 finite étale.
评论：若能消除“几乎”就完美了. (期待后文会这样做).
---- 若能实现，就会出现完代数序列了.
.
In fact, as for perfectoid fields, it is easy to construct a fully faithful functor from the category of finite etale Rᵇ -algebras to finite etale R -algebras, and the problem becomes to show that this functor is essentially surjective.
---- 事实上，对于完域，容易构造完全忠实的函子，由 有限etale Rᵇ-代数类到有限etale R-代数，于是问题成了展示该函子是本质满射.
---- “R -代数” 是怎么回事？此处第一次出现.
.
But locally on X = Spa(R, R⁺), the functor is essentially surjective by the result for perfectoid fields; one deduces the general case by a gluing argument.
---- 但局部地在 X 上，由完域的结果该函子本质满射；由此可用胶水论述导出一般情形.
.
Using this theorem, one proves the following theorem.
---- 使用该定理，可以证明如下定理.
.
Here, Xet denotes the etale site of a perfectoid space X, and we denote by Xet~ the associated topos.
---- 给完空间X的 etale site 及关联的 topos 引入专门记号.
---- 这里把 X 看作 “完空间”(perfectoid space).
.
小结：<R, S/R> ==> <S, Sᵒ/Rᵒ>.
*
温习：1.9
1. {P(K)} ≌ {P(Kᵇ)}.
2. tilting functor by X ↦Xᵇ.
浓缩：
---- K°/p ≌ Kᵇ°/p.(para.3a)
---- Kᵇ = lim<K, x ↦x^p.(para.3b)
---- (x)d --> (x#)d
.........↑..分裂域..↓
[Kᵇ] ~> [K]c
注： x:=ak^δn.(para.3c)
---- ndv(1)~K~(Φ)=Kᵒ/p.(Def.1.2)
---- Kᵇ(p)~Fontaine~K.
---- {K} ≌ {Kᵇ}. (Th1.3)
---- A¹Kᵇ ≌ lim<A¹K (T↦Tᵖ). (Claim1.4)
---- X(K)~Xᵃᵈ(K)~|Xᵃᵈ|.
---- |(A¹Kᵇ )ᵃᵈ| ≌ lim<|(A¹K)ᵃᵈ| (T↦Tᵖ). (Th1.5)
---- 完域 K-代数 R(K) 是指：Banach K-代数，Rᵒ 有界，(Φ) = Rᵒ/p. (Def.1.6)
---- C ≌ Cᵇ (Def.1.7a)
---- X = Spa(R, R⁺)(Def.1.7b)
---- X ≌ Xᵇ. (Def.1.8a)
---- U~>(Ox(U), O⁺x(U))~>(·,·)ᵇ. (Def.1.8a)
---- 仿完空间 ~gluing ~> 完(形)空间. (Def.1.8b)
评论：主线索：完域(K) ~> 完域K-代数~>完仿K-代数~>仿完空间~> 完空间.
K ~> R(K) ~>(R, R⁺) ~> X(R, R⁺) ~> P(K).
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