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数学象万物那样,是要往熵增方向发展。用最精

简的结构容纳最多的信息，这就是数学的本质，

数学要做的事情，以及数学的用处。

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注：调整了边框的宽度.

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学习笔记(接前)。引言部分，1.7(b)。

Now an affinoid perfectoid space is associated to a perfectoid affinoid K -algebra, which is a pair (R, R⁺), where R is a perfectoid K -algebra, and R⁺ ⊂ Rᵒ is open and integrally closed (and often R⁺ = Rᵒ).

---- 注意其中的次序： “affinoid perfectoid” 和 “perfectoid affinoid”.

---- 这个 affinoid 似乎是旧有的概念.

---- 这里出现了配对(R, R⁺), 其中 R=R(K) 为完代数.

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There is a nature way to form the tilt (Rᵇ, Rᵇ⁺).

---- 配对的倾斜.

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To such a pair (R, R⁺), Huber, [18], associates a space X = Spa(R, R⁺) of equivalence classes of continuous valuations R --> Γ ∪ {0}, f ↦|f(x)|, which are ≤ 1 on R⁺.

---- 对于配对 (R, R⁺), Huber, [18], 关联了一个空间 X = Spa(R, R⁺)，它是连续估值的等价类，R --> Γ ∪ {0}, f ↦|f(x)|, 其值在R⁺不超过1.

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The topology on this space is generated by so-called rational subsets.

---- 该空间上的拓扑由所谓的有理子集生成.

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Moreover, Huber defines presheaves Ox and O⁺x on X, whose global sections are R, resp. R⁺.

---- Huber 还在X上定义了预沓 Ox 和 O⁺x, 它们的 global sections 分别为 R 和 R⁺.  

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小结：引入了...1. 完仿K-代数，即配对(R, R⁺)及其倾斜(Rᵇ, Rᵇ⁺).

...................2. Huber 空间 X = Spa(R, R⁺) 及 X 上的预沓.

​符号大全、上下标.|| 常用：↑↓→←↦∞π ΓΔΛΘΩμφΣ∈∉∪∩⊆⊇⊂⊃≤≥⌊ ⌋ ⌈ ⌉≠ᵒ⁻⁰¹²³ᵈ ₀₁₂₃ᵢ

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温习：1.7(a)

完域K-代数略称为完代数, R(K). 完代数类略称为完类, C(K).

1. 1). C(K) 倾斜等价于 C(Kᵇ), 简记为 C ≌ Cᵇ.

....2). R(K) 派送到 R(Kᵇ):= Rᵇ =lim<R(K) (x ↦x^p).

2. 1). 对完代数 R(K) 有映射 Rᵇ --> R, f ↦f#. (映射反了?)

....2). 完代数的例子: 代数 R = K<T^δ> , Rᵒ = Kᵒ<T^δ> 是 K[T^δ] 的 p-adic 补. (T 是什么?) (T是A&sup1;上的坐标，见1.4)

..................................R = K<T^δ> 是 lim<|(A&sup1;K)ᵃᵈ| (T↦Tᵖ) 的补.(?)

.................................Rᵇ =Kᵇ<T^δ> 是 |(A&sup1;Kᵇ )ᵃᵈ| 的完全完美化.(?)

​浓缩：

---- K°/p  ≌ Kᵇ°/p.(para.3a)

---- Kᵇ = lim<K, x ↦x^p.(para.3b)

----  (x)d --> (x#)d

.........↑..分裂域..↓

      [Kᵇ] ~>  [K]c

注： x:=ak^δn.(para.3c)

---- ndv(1)~K~(Φ)=Kᵒ/p.(Def.1.2)

---- Kᵇ(p)~Fontaine~K.

---- {​K} ≌ {Kᵇ}. (Th1.3)

---- A&sup1;Kᵇ ≌ lim<A&sup1;K (T↦Tᵖ). (Claim1.4)

---- X(K)~Xᵃᵈ(K)~|Xᵃᵈ|.

----  |(A&sup1;Kᵇ )ᵃᵈ| ≌ lim<|(A&sup1;K)ᵃᵈ| (T↦Tᵖ). (Th1.5)

---- 完域 K-代数 R(K) 是指：Banach K-代数，Rᵒ 有界，(Φ) = Rᵒ/p. (Def.1.6)