工作的理想状态是什么？“钱多、事少、离家近”是很多普通人的愿望。类似这样的多目标的优化任务，经由拉格朗日乘子法的推导，可以展现了我们为什么实际收入会比预期低的一个原因。

经济学家司马贺说，“激励（aspirations）有很多的维度：一个人可以追求愉快的工作、爱情、美食、旅行等等……一般来说，在一个维度的小的损失，需要另一个维度大的收益才可以补偿。因此，系统的净满意度是依赖于过程的（history dependent），人很难平衡补偿性的偏离（compensatory offsets）”[1] 类似的，我们找工作的时候，作为社会人，并不只追求收入，也需要衡量很多不同的维度，比如工作与生活的平衡。 

“钱多、事少、离家近”是网友们对于理想工作诙谐的总结。普通人选择工作，他/她有一个特点，条件允许的情况下，当然会选工资最高的工作，但是生活中常常有限制（constraints）。比如甲公司的工作收入20万一年，通勤时间2小时，与乙公司的工作19万一年，通勤时间1小时，大多数人会选19万的。假设8小时工作制，前者的性价比20/(8+2)=2，后者则是19/(8+1)=2.11，19万薪水的性价比更高。但是很多现实情况下，我们无法做这样一个直观的数值计算，需要建立数学模型。

“钱多、事少、离家近”代表的含义是收入、上司是否烦人、以及上下班的通勤三个重要的维度的平衡。为了问题的简化分析，我们忽略其他的维度，比如同事，工作餐美味程度等等。搭建如下的优化的目标函数：

这里O（objective）代表需要优化的目标，I（income）代表收入，B（boss）代表领导的脾气好坏，T（transportation）代表上下班的通勤时间（开销），而α与β则代表两个权重因子，不同的人对领导或者通勤问题的侧重程度不同。

由拉格朗日乘子法的定义，多目标权重函数的优化，可以转化为约束条件下的优化，也就是说原问题

与约束条件下的优化收入等价：

这里K（kind）与A(allowance)代表了对领导性格与交通的约束条件的限制取值，这两个数值由权重因子α与β决定。约束条件下的最优收入为I_C*

无约束（自由）条件下maximze I的最优收入为I_F*。约束条件下的优化，是在可选子集中的目标函数的优化，肯定不大于全集中的函数最优值：

等号只在无约束的情况下成立。也就是说，员工追求的生活与工作平衡，是有约束条件下的收入最优化，永远都会低于无约束条件下的最优收入。这个数学推导看上去是完全琐碎（trivial）的，在生活中有什么意义呢？

工薪阶层在选择工作的时候，有时候为了更高的收入，牺牲一定的生活质量；或者为了生活质量，而牺牲一部分收入。高收入者较少受生活中其他条件的约束：比如可以花钱在公司附近买房居住，便解决了交通通勤的问题；领导脾气是否好也不那么重要，因为自己是公司的中高层领导。也就是说，高收入者的优化收入问题中，权重系数α与β可以接近于0，可以更加自由地商谈薪水，取得更加优势的地位。

进一步来说，由于多目标的优化可以转化为约束条件的优化。在市场均衡的情况下，统计上来看，员工的收入都是低于预期的最优市场价的。举个例子。一个插画师觉得收入太低了，转行做计算机程序员；而一个程序员财务自由了，想去学插画了。两者的公司对调，插画家薪水从10万提高到20万，程序员薪水从50万降到了5万。两个人薪资的总和低于对调前的薪水，因为插画师的编程水平没有原程序员高，而程序员的插画水平低于插画师。当然这里有个关于职位对调的隐含假设：因为程序员代码写得很好，只需要维护即可，所以插画师的初级编程能力也可胜任；插画师的工作也提供了很多素材，程序员可以在此基础上修改创作。

在员工与公司的博弈中，基本处于不对等的地位。员工选择是否接受一份工作时，要衡量很多不同的因素，所以会为了生活的情况，而牺牲收入的最优化。但是公司在支付薪水时，并不需要考虑员工的约束条件，而只需要考虑才能与薪水是否匹配。所以公司在与员工进行薪资商谈（negotiation）的时候，处于上风。实际上，公司在薪水商谈中的优势地位，还有其他原因。类似于前文所说的囚徒困境，公司可以在若干职位候选人中，可以选择薪水要求最低的一个。美国的高科技公司因为组成了“互不挖角”的协议，压低程序员的薪水，而违反了美国的反垄断法，而缴纳了罚款[2]。

经济活动离不开人的活动与参与，100块钱丢在地上，不会长出利润或者利息来。在追求工作与生活的平衡时，多目标的优化引发实际收入低于预期收入，所以，公司比员工更具有薪水协商的优势地位。虽然理解这样的经济学原理，并不能提高收入，但是可以增加我们的理性，我们可以更加确定地去追求对我们而言最重要的幸福。

后记：关于拉格朗日乘子法的推导，当时正好在学习支持向量机（support vector machine）的原始解与对偶解的推导（the primal and dual solutions）,里面解释道符合斯莱特条件（Slater’s condition）时，满足强对偶性（strong duality），即，原始解与对偶解的间隙为零，否则对偶解总是低于原始解。而司马贺的人工科学，又指出了现实工作时，我们并不只为了优化收入，还有生活中的其他情况需要考虑。两者结合，我们便可以推导出实际收入低于预期收入的一个机理。

引用文献：

[1] 司马贺，《人工科学》,麻省理工学院出版社，1996年，Herbert A Simon, The sciences of the Artificial, MIT press, 1996.p.30

[2] High-Tech Employee Antitrust Litigation, Wikipedia,