高雷诺数不是引起层流到湍流转捩的真正物理机理，是什么呢？先说答案，是流场中机械能梯度的分布，其分布的畸变引起了流场中出现了奇点，从而导致湍流转捩。

图1 圆管流动实验（Reynolds 1883）显示了流动由层流向湍流状态转捩的过程，取决于雷诺数大小。（a 层流，由染色流体示踪；b 层流到湍流转捩，由染色流体示踪；c 层流到湍流转捩，由火花或示踪粒子显示）

根据能量梯度理论，作者发现了雷诺数大小不能反映湍流产生的本质原因和其物理机理。对不可压缩流体，发现了除扰动影响外，湍流的产生唯一地取决于流场中机械能梯度的分布 [1-15]。

以前，我们理解的湍流，根据前人的研究，就是湍流是随着雷诺数的升高而发生的。经过30多年的研究和探索，作者发现，“湍流是高雷诺数下产生的”，这句话是不合适的，在有的情况下正确，在有的情况下错误。湍流产生存在另外的普适的准则，即奇点准则，或者叫能量梯度准则 （即能量梯度函数为无穷大)。如下面，窦华书的定理1和定理2。这个准则，在任何情况下，无论牛顿流动，还是非牛顿流动，都是普遍适用的。

（一）湍流的科学研究背景

众所周知，湍流是著名的物理学世纪难题。湍流在自然科学和工程中有着广泛的应用背景(航空航天、流体机械、大气科学、天体物理、地球物理、化学工程、动力能源、燃烧科学、生物科学等等)。著名物理学家诺贝尔奖获得者费曼说过,湍流是至今没有得到解决的经典物理学的最后一个难题。今年正好是著名物理学家、流体力学家，英国皇家学会院士Osborne Reynolds(雷诺)在英国曼彻斯特所进行的圆管流动中层流到湍流的转捩实验140周年（1883-2023），今天写这篇文章，具有特别的纪念意义。

雷诺发现，对流体流动，存在一个无因次数，后来被称为雷诺数（Re=UD rou/miu ），在圆管流动中，当这个雷诺数小于大约2000，流动为层流的，当雷诺数大于2000，流动为湍流的 (如图1)；在Re大于2000的一个范围内，还存在转捩流动区域。从那时起，人们进行了一个多世纪的大量的理论、实验和计算研究工作，可是，湍流到底是怎么产生的，至今一直都没有弄清楚。

在湍流研究方面做出巨大贡献和努力的科学家包括著名物理学家、应用数学家，普朗特、泰勒、von Kármán、Kolmogorov，C C Lin(林家翘)、John von Neumann(现代计算机之父，博弈论创始人) 等人，还包括著名诺贝尔奖获得者Rayleigh、朗道、海森堡、费曼、Chandrasekhar、Onsager等人。在我国，著名物理学及流体力学前辈如周培源、陆士嘉（普朗特的学生）、钱学森、郭永怀、庄逢甘、张涵信、童秉纲、周恒等人，都在湍流基础研究和旋涡流动以及航空航天工程应用方面，带领我国科学家进行了长期的努力，也在军民飞机设计，航空航天工程等方面取得了举世瞩目的成就。

可是，在二十世纪期间，经典物理学被得以终结，相对论和量子力学被得到普遍理论认可和已经获得广泛实际应用的情况下，湍流问题还没有得到解决。许多科学家认为湍流是比相对论和量子力学更难的科学难题。

（二）关于高雷诺数是湍流产生原因的两个反例

自从雷诺1883年的实验研究以来，雷诺数被认为是湍流转捩的普遍准则。一般认为，雷诺数为零或者很低，流动是稳定的，流动能保持为层流流动。当雷诺数非常非常大，流动肯定是湍流流动。在研究中，我们发现存在反例。本文举出2个实际的反例，其物理现象不能用雷诺数准则来解释。第一个反例是牛顿流动中的自由涡流动。第二个反例是雷诺数接近于零的非牛顿流动（粘弹流动）。第一个例子中，雷诺数非常非常高(一般Re>10^8)，也不会产生湍流。第二个例子中，雷诺数接近于零（Re<1）也能产生湍流。一个突出的问题是，这些反例并没有引起这个领域的湍流研究者的足够注意或者重视 。作者解决这个问题也是由于一个偶然的机会，20多年前在澳大利亚悉尼大学研究Re=0.1的粘弹流动时，发现了流动不稳定，流动发生震荡，此时表征流体弹性的Deborah数为De=0.7~0.8。通过仔细对比了几组实验数据后，意识到这就是流动失稳和湍流转捩的开始。

第一个反例：自由涡流动不会产生湍流（无论雷诺数多么高）。这个流动实际上可以通过一个旋转圆柱引起的外部流动来实现。可是它无论速度多么大，无论雷诺数多么高，永远也不会产生湍流。自然界存在的自由涡运动的例子是龙卷风的外部流动 (如图2)。龙卷风的涡核是一个强制涡运动，直径一般是几米到几十米。外部是一个自由涡运动，一般直径是100米到几公里左右。通过流动可视化可以容易看出，涡核内部是很强的湍流运动（强烈的混乱流动）。外部的自由涡（沿龙卷风高度的中部部分）几乎是一个层流的流动（透明的），尽管雷诺数非常非常大（一般 Re>10^8），但是它流动非常稳定并且规则，不会发生强烈脉动的湍流。按照我们现在的教科书和学术文献，在这么高的雷诺数，应该是湍流才对呀，可是它是层流。可见，现有的关于湍流产生的理论与实际情况是不一致的，是矛盾的。

图2 龙卷风（tornado， wikipedia）。龙卷风的中间的涡核是强制涡流动，是强湍流流动，并伴有垂直向上的流动。龙卷风的外围流动是自由涡流动，是层流的流动，是规则的，透明的流动，并不存在垂直向上的流动。

第二个反例：粘弹流动在弯曲流道的表面附近或由于流线弯曲产生的湍流（雷诺数接近于零）。2000年，以色列的科学家Groisman and Steinberg (2000)在Nature 发表了的粘弹性湍流实验研究的论文（Re=0.7），发现雷诺数接近于零，当流线弯曲时的流动也能产生湍流 ,称为粘弹湍流（如图3）。粘弹湍流具有牛顿湍流的全部特征，如速度涨落及阻力增长等等。自从2000年以色列科学家在Nature发表了这篇具有历史意义的文章以来，引起了粘弹性湍流的研究的热潮，特别是微型流道的传热。在ARFM上也有几篇综述文章。在粘弹性流动中，没有对流惯性力，也能产生湍流，那么这说明对流惯性力就不是湍流产生的普遍原因 （而是还有其他别的原因），尽管在有的情况下它是。按照我们现在的教科书和学术文献，在这么低的雷诺数，惯性力几乎是零，应该是层流才对呀，可是它可以产生湍流。可见，实际情况与教科书中的说法是矛盾的。

图3 低雷诺数（Re=0.7)下聚合物流体由弯曲流动产生的湍流流动 (Nature 2000)。实验装置为两个平行圆盘，都平行于地面，流体充满于两个圆盘之间，其中一个圆盘由垂直于圆盘的轴带动旋转，另一个圆盘静止。圆盘表面显示出了湍流流动的图画。同时扭矩仪也显示出了流动阻力的跃升。

（三）能量梯度理论解决了湍流产生问题

窦华书教授经过30多年的艰苦努力，通过交叉学科的研究（高雷诺数湍流与零雷诺数流变学交叉研究），建立了关于湍流转捩和湍流产生的能量梯度理论 [1-15]。提出了”不可压缩流体中所有的湍流都是机械能梯度分布畸变所引起“ 的创新思想，并通过Navier-Stokes方程推导出了能量梯度函数的精确表达式。为此，作者把此理论命名为能量梯度理论。在国际上首次成功地解决了湍流的百年难题（湍流是怎么产生的），发现了湍流是由Navier-Stokes方程的奇异性所引起,并给出了湍流产生/湍流转捩的准则。

定理1：湍流产生/湍流转捩的充分必要条件是流场中出现Navier-Stokes方程的奇点（速度发生间断）[1]。

窦华书的理论与所有能够得到的大量实验数据获得了一致性；推翻了过去100多年间前人得出的许多有关湍流及流动稳定性的已有结论。 发现湍流的产生绝对不是“NS方程中对流非线性项的作用超过了粘性耗散项的影响而产生的”（而是二者的相互作用，二者既对立又统一）；这句话是过去100多年最具有误导性的一句话，它出现在几乎所有的相关的教科书及学术文献中。在湍流研究领域，过去雷诺数被当做至高无上的湍流产生的决定因素，这也是140年来湍流问题没有解决的主要原因之一。湍流的产生为什么不取决于雷诺数，因为雷诺数不能反映湍流产生的本质原因及物理机理。在普遍情况下，雷诺数大小代表不了物理上湍流产生的临界条件。

（1）机械能梯度=动能梯度+压力能梯度+位能梯度。

（2）能量梯度函数K=流线法向的机械能梯度/流线切向的机械能损失。

（3）当总的机械能梯度方向垂直于速度矢量方向，K为无穷大，流场奇点出现。

根据窦华书的能量梯度理论，湍流的产生，除扰动外，唯一地取决于机械能的梯度，而不是其它因素。湍流的产生不取决于雷诺数，而是取决于机械能的梯度的分布。雷诺数的影响以及其他因素的影响，最终都是通过影响了机械能梯度的变化而对湍流产生而起作用；如果不去改变雷诺数，而改变其他因素也能达到与改变雷诺数相同的效果。如果改变了雷诺数，也去试图改变其他参数或条件，但综合起来使得流场的机械能分布没有改变，那么流场状态不会有任何变化。

图4 能量梯度函数K的示意图。K=tan (alpha)。

流场中总的机械能梯度的方向与速度矢量的夹角的正切值 （图4），被定义为能量梯度函数K，它是一个无因次的场变量，其数值大小与全局雷诺数成正比，对牛顿流动，其物理意义是一个当地雷诺数或局部雷诺数 (local Reynolds number)。湍流产生实际上取决于这个当地雷诺数。当K为无穷大，层流转捩为湍流；当K值为零或小于一定值（与几何有关），流动保持为层流。当K值大于一定值而为有限值，流动状态取决于扰动大小。下面的定理2与上面的定理1是等价的。

定理2：湍流转捩/湍流产生的充分必要条件是流场中的能量梯度函数K为无穷大[1]。

（四）根据能量梯度理论对上面2个反例的解释：

第一个反例：自由涡流动是一个均匀机械能场，即整个流场的机械能是一个常数。在垂直于流线方向上的机械能梯度为零，根据能量梯度理论，能量梯度函数K值为零，流动是稳定的，任何扰动都会被吸收掉，流动保持为层流。因此，它不会引起任何失稳或引起湍流（无论雷诺数多么高）（如图2，龙卷风的涡核外部的流动是自由涡流动（除去近地面部分和顶部与云层交接部分），雷诺数很高很高，保持层流）。外部的自由涡是龙卷风之所以如此稳定、旋流流动不容易被破坏的内在原因。

因此，自由涡由于流动的超级稳定性，在工程中应用很多，如离心压缩机的无叶扩压器、热电厂用的除尘用旋风分离器、水力发电机用的尾水管扩压装置、双层射流装置用的swirl稳定器、燃烧室用的火焰稳定器，等等。

第二个反例：粘弹流动在经过弯曲表面时或流线弯曲时，因为雷诺数很低，惯性力很小，离心力产生的压力梯度很小，但是，粘弹正应力产生的压力梯度却很大。当表征流体弹性的Deborah数增大时，这个压力梯度非常大，它导致了总的机械能梯度的增大。根据能量梯度理论，能量梯度函数K值有可能超过临界值，当超过临界值时，引起流动失稳，导致湍流发生（如图3）。

（五）结论：

（1）采用窦华书创立的能量梯度理论[1-15]，来分析湍流转捩及湍流产生，上面这两个反例就不存在了，并且也不存在任何其他反例了。能量梯度理论，是关于湍流产生的普遍理论，是一个颠覆性的理论，是一个从0到1的完全原始创新的理论，并且与所有可能得到的实验数据一致。自从能量梯度理论提出之后，对自然界湍流的产生的理解一目了然。能量梯度理论解释了湍流产生的所有现象。这样，湍流到底是怎么产生的，或者一个光滑的层流流动是怎样转捩为湍流的，就非常清楚了 （图5）。

（2）高雷诺数不是引起层流到湍流转捩的真正物理机理。湍流产生不取决于雷诺数，而是取决于机械能梯度变化导致的NS方程的奇点是否能够产生。尽管一般来讲，对牛顿流体，湍流是随着雷诺数升高产生的，但不是放之四海而皆准的普遍现象。如果在非常高的雷诺数，如果流动中不能产生奇点，流动仍然保持为层流。如果在非常低的雷诺数甚至接近零雷诺数，如果流动中能产生奇点，流动仍然会转捩为湍流。

（3）最后，再次解释一下，为什么牛顿流动在低雷诺数下不能产生湍流，就是在低雷诺数下不能生成产生湍流的机械能梯度分布（奇点产生）。为什么龙卷风的外部swirl流动在高雷诺数下仍能保持层流，同样道理，就是在高雷诺数下不能生成产生湍流的机械能梯度分布（奇点产生）。

图5 窦华书，湍流的起源--能量梯度理论， Springer, 2022 [1]

作者对湍流的创新性研究工作，包括理论和验证以及研究应用和研究进展都包括在了文献[1-4]中。文献[5-15]是为了方便读者，对文献[1-4]所做的仔细解读及科普。

参考文献

1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.  https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7   (全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Energy Gradient Theory of Hydrodynamic Instability, The Third International Conference on Nonlinear Science, Singapore, 30 June-2 July, 2004. 链接如下： https://arxiv.org/abs/nlin/0501049 

3. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553. https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063 ; https://arxiv.org/abs/1805.12053v10 

4. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339. https://doi.org/10.3390/e24030339 

5. 为什么人体主动脉血管里血液流动会由层流变为湍流？ https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1356764.html

6. 窦华书：我是怎样创立能量梯度理论的？ https://mp.weixin.qq.com/s/tujupDNxbClLCFXGBKJVIA

7.科学网-海森堡的第二个问题终于有了答案，窦华书的博文。

https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1361491.html 或者 https://mp.weixin.qq.com/s/xW20mnE7jpDLL68PcKDSsg

8.新书访谈，专访《湍流的起源—能量梯度理论》作者窦华书教授。https://mp.weixin.qq.com/s/unFxknnohDUwp11150OfZw

9.窦华书教授成功破解了百年湍流难题，中国教育日报网。http://chinaedutech.com/dfjy/2022/1117/1327.html 或者 https://mp.weixin.qq.com/s/1nh4SLMaLHC511d8uDeI8Q

10.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻。https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm 或者 https://mp.weixin.qq.com/s/QfC9d4Cn5ujzUMltyhvQyg

11. 湍流是怎样产生的? 最新研究进展！https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1341235.html

12.千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明,

https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1337452.html

13. 为什么流动弯曲的地方更容易发生湍流？ https://mp.weixin.qq.com/s/a5PI4BiuWL5lUhqwybPJKw 或者 窦华书： 为什么流动弯曲的地方更容易发生湍流？

14. 窦华书：一个力学公理的建立揭开了湍流的秘密。 https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3057857&do=blog&id=1383011 或 https://mp.weixin.qq.com/s/LhMV3gRmhu0aP75vt9myIQ

15. 窦华书： Navier-Stokes 方程可以描述湍流吗？ https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3057857&do=blog&id=1386583 或  https://mp.weixin.qq.com/s/Djq14TpgrvKHbKXvRnPftw