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- [每天一题]2013-12-03
- 2013-12-03: (Hadamard 三圆定理) 若 $0r_1r_2+\infty$, $U=\{z\in\mathbb{C};\ r_1|z|r_2\}$, $f(z)$ 在圆环 $U$ 上全纯, 在 $\bar U$ 上连续, $$M(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|.$$ 证明: $\ln M(r)$ 在 $ $ 上是 $\ln r$ 的凸函数, 即当 $r\in $ 时, 不等式 bex ln M(r)leq frac{ln r_2- ...
- [每天一题]2013-12-02
- 2013-12-02: 若 $f(z)$ 在 $D(0,1)\cup \{1\}$ 上全纯, 且 $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(D(0,1))\subset D(0,1)$, 则 $|f'(1)|\geq 1$. 提示: 利用 Schwarz 引理.
- [每天一题]2013-12-01
- 2013-12-01: 试证不恒为全纯函数至多有可数个零点. 提示: 利用全纯函数的唯一性定理及 $E\subset \mathbb{C}$ 不可数 $\Rightarrow E'\neq \varnothing$.
- [每天一题]2013-11-30
- 2013-11-30: 若 $f(z)$ 在 $D(0,1)$ 上全纯, 且 $f(0)=0$. 如果 $|\Re f(z)|1$ 对所有 $z\in D(0,1)$ 都成立, 则不等式 $$|\Re f(z)|\leq \frac{4}{\pi}\arctan|z|$$ 和 $$|\Im f(z)|\leq \frac{2}{\pi}\ln\frac{1+|z|}{1-|z|}$$ 对所有 $z\in D(0,1)$ 都成立. 提示: 利用 Schwarz 引理. ...
- [每天一题]2013-11-29
- 设 $f$ 在 $[a,\infty)$ 上可微有界, 则存在 $x_n\to\infty$, 使得 $f'(x_n)\to 0$.
- [每天一题]2013-11-28
- 2013-11-28: 若 $|z_1|1, |z_2|1,\cdots,|z_n|1$. 证明: 在单位圆 $|z|=1$ 上存在点 $z_0$, 使得 $$\prod_{k=1}^n |z_0-z_k|1$$. 提示: 利用全纯函数的最大模原理.
- [每天一题]2013-11-27
- 2013-11-27: 应用调和函数的均值性质, 证明: 若 $-1r1$, 则 $$\int_0^\pi \ln(1-2r\cos \theta+r^2)d \theta=0.$$ 参考解答: 20131127.pdf
- [每天一题]2013-11-26
- 2013-11-26: 证明 $w=\cos z$ 将半条形域 $\{z\in C;\ 0Re z2\pi,Im z0\}$ 单叶地映为 $C\backslash [-1,+\infty)$. 参考解答: 20131126.pdf
- [每天一题]2013-11-25
- 2013-11-25: 若 $f(z)$ 在圆 $|z|1$ 内全纯, 在圆 $|z|\leq 1$ 上连续, 且 $|f(z)|1$, 则 $f(z)$ 在圆 $|z|1$ 内有唯一的零点. 参考解答: 20131125.pdf
- [每天一题]2013-11-24
- 2013-11-24: 求笛卡尔叶形曲线 $x^3+y^3=3axy\ (a0)$ 所谓图形的面积. 参考解答: http://bbs.sciencenet.cn/thread-1328124-1-1.html
