1. 设 $a_1>b_1>0$, \[a_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n},\ b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n},\ n\in\mathbb{N}_+.\] 证明: $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 收敛于同一极限.

2. 在 $a_1=2\sqrt{3}$, $b_1=3$ 时, 证明上述极限等于单位圆的半轴长 $\pi$.  这里可以利用极限 \[\lim_{n\to\infty}n \sin \frac{\pi}{n}=\pi.\]

(注意本题与例题 2.3.5 完全不同. 实际上这就是计算圆周率的 Archimedes-刘徽方法的迭代形式. 在 (2) 中的两个数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 就是单位圆的外切和内接正多边形的半周长 (请求出边数与 $n$ 的关系).)