命题：绝对收敛的级数必有两个收敛的子级数；而条件收敛的级数必有两个发散的子级数。

定义：设 $sum_{n=1}^infty a_n$ 为级数, 则 $sum_{k=1}^infty a_{n_k}$ 称为其一子级数, 其中 $a_{n_k}$ 是 $a_n$ 的一个子列。

证明：对级数 $sum_{n=1}^infty a_n$，取

[sum_{n=1}^infty frac{|a_n|+a_n}{2},quad sum_{n=1}^infty frac{|a_n|-a_n}{2}]

即可。

事实上，由 [frac{|a_n|+a_n}{2}=left{begin{array}{ll}a_n,&a_ngeq 0,\0,&a_n<0end{array}right.] 知上面两个级数都是 $sum_{n=1}^infty a_n$  的子级数。若 $sum_{n=1}^infty a_n$ 收敛，则上面两个级数收敛；若 $sum_{n=1}^infty a_n$ 条件收敛，则上面两个级数发散。