1. 求矩阵方程 $XA=B$ 的解, 其中
       [A=left(begin{array}{ccc}1&2&3\-1&3&1\0&6&5end{array}right), B=left(begin{array}{ccc}1&2&1\2&3&-2end{array}right).]

2. 设 [A=left(begin{array}{cccc}1&1&1&1\1&1&-1&-1\1&-1&1&-1\1&-1&-1&1end{array}right).] (1) 求出 $A$ 的全部特征根及特征向量; (2) 求一个正交矩阵 $U$, 使得 $U^tAU$ 为对角阵.

3. 设 $A,B,Cin F^{ntimes n}$, 证明:
    [rank(AB)+rank(BC)leq rank(ABC)+rank(B).]

4. 令 $F[x]_n$ 表示数域 $F$ 上所有次数 $<n$ 的多项式及零多项式作成的线性空间, $a_1,a_2,cdots,a_n$ 两两互异, 命
   [f_i(x)=prod_{j=1,jneq i}^n(x-a_j),quad 1,2,cdots,n.] 证明: $f_1(x),f_2(x),cdots,f_n(x)$ 是 $F[x]_n$ 的一个基.

5. 若 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换 $sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值, 则 $V$ 恰 $2^n$ 个 $sigma$ 的不变子空间.

6. 设 $A$ 是一个 $n$ 阶正交矩阵, 且 $|A|=1$. 证明: 存在 $n$ 阶正交阵 $B$, 使得 $B^2=A$.

7. 设 $A,B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵, 且 $A$ 为正定矩阵. 证明: $B$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $AB$ 的特征值全部大于零.

参考解答参见家里蹲大学数学杂志第234期。