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范洪义:论量子算符排序的积分方法

已有 2162 次阅读 2018-6-6 22:22 |系统分类:科研笔记

 文/范洪义


科学从某种意义上来说是为了改善我们的思考方式。量子力学普朗克常数的发现要求我们以能量分离的观点看待微观世界,这已经是金科玉律了。但我几十年的研究经验认为除此以外,还要用有序的观点去分析力学量算符,这是因为量子力学理论建立在一组基本算符的不可交换的基础上。按照奥地利物理学家马赫的观点:把作为元素的单个经验排列起来的事业就是科学,怎样排、以及为什么要这样排,取决于感觉。马赫称作为元素的单个经验为"感觉"。算符的排列有序或无序,其表现形式便不同,感觉有差别。量子力学就是排列算符看好的科学。

  说起有序,空间事物排列的有序使得人眼观察一目了然,信息量的摄入就多;相反,杂乱无章给人脑中留下一片狼藉。另一方面,事件的时间排序突出事情的轻重缓急。

 生活中需要排序的事情枚不胜举,例如在超市排队买东西付账;运动员比赛(淘汰赛)前抽签,两个顶级高手抽签的结果正好在第一轮就相遇,其中一个立被淘汰出局,这样的排序是很不公正的。又如,整理书架,是按内容排序还是按书的购进日期排序?还是按书名的汉语拼音排序?为此,数学家研究出了一些排序算法。计算机也是靠编程序才有生命的,冯-诺伊曼发明了“合并排序”来编写计算机的程序,以提高编序的效率。

  而量子力学的算符排序问题需要物理学家自己解决,因为物理学家与数学家的思维方式不同。在量子力学中,由于两个基本算符不可交换,排序问题尤为重要。譬如说, 光的产生和湮灭这两个相辅相成的机制虽然类似于投一个硬币的正、反两面,以概率出现,但就某一个个体而言,生和灭是有次序的,光子的产生和湮灭算符之间遵循不生不灭的顺序。要探索新的光场,就要构建量子光场的密度算符,如果不按某种方式排好序,它是不露真相的,因而新光场不易被察觉、被研究琢磨。

  光场的密度算符的复杂性用数学家的通常方法是很难被排成正规序、或Weyl序的。为了摆脱困境,我研究出了一套用量子力学表象完备性结合积分的排序方法给出了算符排序互换的积分公式。对于某个算符函数,按我的公式只须做一个积分就完成了算符排序的任务。不但节约了大量的时间,而且发现在产生算符和湮灭算符按正规排列起来的空间可以导致测量坐标的正态分布律,而这恰是狄拉克的坐标表象。在哲学范畴,表象是事物不在眼前时,人们在头脑中出现的关于事物的形象。从信息加工的角度来讲,表象是指当前不存在的物体或事件的一种知识表征,这种表征具有形象性。有序的排列使这种形象性更加鲜明。例如,坐标投影算符|x》《x|用正规排列的玻色算符表示出来就是

:exp[-(x-X)^2]:,是高斯型.

 另一方面,光场的很多物理性质只有在算符排好序后才能计算出来。例如,有序算符内的积分方法结合辛群结构能将多模玻色算符函数排好为正规序,由此求出了多模混沌光场的广义玻色分布。

  那么,我是怎样想到要把研究重点放在量子算符排序上并想出有序算符内的积分方法的呢?实际上,我从小看《水浒传》就对梁山好汉108将的排序名次感兴趣,能背诵36天罡星,72地煞星。排序的标准是谁的武功高、贡献大,谁排在前。我后来注意到在山寨内,这108人不分彼此,都是好兄弟。譬如武松和杨志,两人在二龙山落草时,杨志是二头领,武松是老三;而在梁山上,武松排名在杨志前,但他俩并不在乎这一变动。又如孙立排在解珍、解宝后也毫无怨言。而对山寨外宣布这108人的地位又高有低,人有尊有卑。这种情形相当于在有序记号内(山寨内),无所谓排序,产生算符和湮灭算符可交换,而要“挣脱”有序记号(山寨外),就必须排好次序。这个想法引导我利用表象的完备性把复杂的算符写成有序记号内的积分,在记号内基本的算符因可以交换次序而被视为普通数,于是积分就可以进行了。

  总之,量子算符排序的积分方法是一种简捷而有效的算符序的重排理论,不但丰富和发展了量子统计力学,而且把普通函数的数理统计算符化,如提出算符的二项式定理、算符厄密多项式理论等。诸位学习量子力学想得到真知的,不可不掌握这方法啊。




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