1     欹器“虚而欹，中而正，满而覆”，发明于何时、何地、何人，均缺乏记载，尚未发现古物存世；但文献多有记载，且孔子亲见[1-5]。后世仿作皆为悬挂式[6-10]，似稍有欠缺。如文[6]所称，触地式欹器技术要求很高，但考虑到古代制造水平可能性不大，“却希望真正的欹器就是这种触地式”。

笔者觉得，最初的欹器就该是触地式，或许源于瓶底湿土变形而产生的奇异“次品”，被有心者发现而载入史册；又因实物遗落后人知其意而不晓其理，只能制作悬挂式欹器。下面给出一个简单介绍，详细说明请参阅

尤明庆. 触地式欹器的结构特征及盈虚瓶的设计. 力学与实践，2016，38 (1): 105-108 

2      就注水的触地式欹器提出如下设计：利用扁椭球来实现注水后的“中而正”；减小顶点曲率半径即增加外凸来实现“虚而欹”； 以上方敞口来保证“满而覆”。

上部是敞口，中部是圆柱；下部主体形式是扁椭球，长半轴为8，短半轴为5。通过调整圆柱的长度，使容器重心B在椭球上顶点附近，即距椭球中心为5。底部的顶点附近为半径为9 的圆，中心角30°，其圆心C1距椭球中心约为3；再向外为半径12 的圆弧，张角30°，圆心C2不在中轴上，以使两圆弧相切。又，此处只是给出各几何量的比例关系以便于解说。

3     注水前容器重心B高于底部圆弧中心C1，不能以竖直姿态稳定平衡，而居于图示倾斜位置，即“虚而欹”。

随着水量增多，下部扁椭球右侧偏高状态不能维持，将逐步降低，即容器从图示姿态向右转。椭球满水时，水体重心大致在其中心；若容器重量与该水体相当，则总体重心在椭球中心上方2.5，低于底部顶点处的曲率中心C1，容器以竖直状态稳定平衡，即“中而正”。

加水至圆柱中部，竖直位置的平衡达到临界状态；继续加水少量，容器倾斜，但仍有可能稳定；若加水达到敞口部位，因水向支承点方向流动，引起重心水平偏移而倾倒，即“满而覆”。

4   先民为了生活而不是为了哲理制作器物，现在所能看到的悬挂式“宥坐之器”想来不同于最初的欹器。洪水、地震乃至战争，使欹器经历多次的失传和仿作；而刻意的仿作，如非对称的悬挂式欹器，似未能体现力学稳定性理论的精妙，更失却了自然的趣味和学理的和顺。

欹器源出于何时何地固然难以探寻；或许，古人对泥土特性缺乏足够了解，移动没有完全干燥的瓶坯，使原本平整的底部粘土发生蠕变而下凸，成为次品；但其中部分陶瓶或许“虚而欹，中而正，满而覆”，即仍具有一定的使用价值。后来某些“次品”被有心人发现而赋予新意，乃至模仿制作，并载入文字而流传至今。发明或发现源于“疏忽”的案例也是常见的。 

照片来自网络,不做商业运用,致谢拍摄者

1     匡亚明. 孔子评传. 济南: 齐鲁书社出版, 1985. 436

2     王  肃. 孔子家语. 郑州: 中州古籍出版社, 1991. 40

3     杨柳桥. 荀子话译. 济南: 齐鲁书社出版, 1985. 80

4     王大钧. 半坡的尖底红陶瓶. 力学与实践, 1990，12(3): 71-75

5     陈立群. 稳定性漫谈. 力学与实践, 2015，37(1)：148-151

6     高云峰. 欹器的原理及设计.力学与实践. 1999，21(2)：76-79

7     高云峰. 从欹器谈起: 关于理论力学中的素质教育问题.力学与实践. 2000，22(2)：58-59

8     王永礼，张秉伦. 悬挂式歌器的静力学分析及简化设计.学与实践，2003，25(5)：52-55

9     吴健，张华靓. 悬挂式欹器的一种简单设计. 江苏航空，2009，(增)：134-136

10  许健，汪敏，戚晓利，等. 悬挂式偏心欹器的分析与制作.力学与实践，2015，37(2)：205-209

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