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宇宙学还可以这么学之基础篇第5回 精选

已有 7525 次阅读 2015-6-15 11:03 |个人分类:宇宙学还可以这么学之基础篇|系统分类:科普集锦| 相对论, 爱因斯坦, 引力, 宇宙学常数, 宇宙学还可以这么学

【小试牛刀之遗留问题】

司马弦:“小雨,还记得上次留下来的问题吗?为什么辐射为主的宇宙,其能量密度不是和 $a^{-3}$ 而是和 $a^{-4}$ 成正比?”

张小雨:“好像算出来就是这样?至于物理上为什么是这样,还是没弄明白。”

司马弦:“上次说到,物质的密度和体积成反比,体积又和长度的三次方成正比,而长度由于宇宙膨胀而变长了,那么密度自然就和 $a^{-3}$ 成正比,这是因为非相对论物质的能量主要来自于其静质量;可是对于辐射,它的能量来自动能,从量子力学中得知, $E=h\nu = hc/\lambda$ ”,这里的 $\nu,\lambda$ 分别是辐射的频率和波长。于是,我们得到:

$\rho\sim \frac{E}{V}\sim \frac{hc}{l^3 \lambda} \sim \frac{hc}{a^4}$

看,是不是和 $a^{-4}$ 成正比呢。”

张小雨:“哦,原来是这样。”

司马弦:“所以说,光会计算还是不够的,还得理解和判断你所得的结果是否合理,这就需要有清晰的物理图像。事实上,在现代宇宙学,甚至物理学中,能够严格计算的情形并不多了,很多时候需要用到近似计算,那么最终结果的好坏将依赖于所选择的近似方法。如果你得到的计算结果和物理图像不一致,那么很有可能是近似的方法不对,或者近似条件已经被破坏了。因此,培养自己的物理感觉非常重要。当然,这也是急不得的事情,需要时间慢慢积累。”

张小雨:“嗯,记下师兄的话了。”

【宇宙学常数与真空能】

张小雨:“师兄,我按照先前的方法,计算了一下 $w=-1$ 的情形,得到 $\rho = const.$ 即常数的解,而且宇宙是成指数膨胀的 $a\sim e^{Ht}$ 。如果是这样的话,那么随着宇宙的膨胀,它的能量不是越来越大了吗?这跟物质、辐射都不一样呢。”

司马弦:“你所计算的情形就是宇宙学常数作为主要成分的宇宙,它的能量密度就是一个常数,因为宇宙学常数本身就假定为常数嘛。虽然,随着宇宙膨胀,它的能量会变得越来越大,但是总的能量并没有增大,实际上是时空的能量转化给了宇宙学常数所代表的真空能。”

张小雨:“师兄,你说的真空能是量子力学中的那个真空能吗?它和宇宙学常数又有什么关系呢?”

司马弦:“是的。我说的真空能是某个量子场的真空能,它和你见到的量子力学的真空能本质上没有太多区别。我们知道经典力学中是没有真空能这个概念的,只有在量子力学的范畴内,才会讨论真空能。在量子场论中,所有的基本粒子都是它的真空能的激发态。当然,这一说法并不严格,但是对于我们理解真空能是有帮助的。”司马弦接着说道:“通过简单的计算,你会发现真空能是一个常数,而且是一个很大的常数。由于它是一种能量,它也能引起时空的弯曲。不过,你也可以把这个常数,人为地放到爱因斯坦方程的左边,那么它的地位就相当于爱因斯坦当年引入的宇宙学常数了。”

张小雨:“哦,可是我听说在量子场论中,计算的真空能是一个无穷大?这又是怎么一回事?”

司马弦:“因为这个计算近似是这样的:

$\rho \sim \int_0^\infty k^3dk$

很明显,它是一个发散的积分。不过,在现有的量子场论框架中,这个积分是不能积到无穷大的,因为在那时,量子场论就已经失效了,必须要对其进行引力的修正,这就是传说中的量子引力理论。但是,自洽的量子引力理论还没有被发现,所以我们不得不采用一个折中的方案,给这个积分一个截断, $k_{max}$ ,并假设这个截断之下的量子场论是有效的,不需要引力修正的。”司马弦思索了一下,接着说道,“通常,这个截断会选的比较大,比如大统一能标,甚至是普朗克能标。可是,当前的观测表明,宇宙的真空能实际上是非常小的,因此,宇宙学常数作为暗能量的候选者有着它自己的痛。关于暗能量,咱们以后再聊。”

张小雨:“现在明白了,宇宙学常数和真空能实际上没有太大的区别,它们都代表一种能量密度为常数的宇宙组分,并且在这种组分为主的宇宙中,宇宙是成指数膨胀的,俗称暴涨。”

【广义相对论vs牛顿万有引力】

(博主按:写这一节,是起源于科学网网友lrx的提问,可能很多人都想了解一下广义相对论是如何处理引力问题的,虽然有些时候有点用牛刀杀鸡的感觉,但从简单的例子来了解广义相对论,也未尝不是一件好事。)

张小雨:“师兄,虽然我算了一堆,但对广义相对论还是没有太多感觉,你能举个例子吗?”

司马弦:“好的。首先,我们来具体理解一下度规。比如,一个三维空间的度规写成:

$ds^2 = dx^2 + dy^2 +dz^2 = g_{ij}dx^idx^j$

或者写成:

$g_{ij} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$

那么,就可以这样计算三维空间两点之间的距离

$\Delta S = g_{11}(x_1-x_2)^2+g_{22}(y_1-y_2)^2+g_{33}(z_1-z_2)^2 \\ =(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2$

推广到四维也是一样的。”

司马弦接着说:“现在,我们考虑一个球对称物体,比如地球、太阳,通过求解爱因斯坦方程,来得到这个球对称物体之外的度规,这就是著名的Schwarzschild解。根据对称性,我们可以假设度规是这样的(球坐标):

$ds^2 = -A(r)dt^2 + B(r)dr^2 + r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2$

这里的A,B是待定的函数,也就是我们要求解的函数。好了,比较痛苦的事情来了,计算联络、曲率张量:

$\Gamma^r_{rr} = \frac{B'}{2B}, \cdots , R_{tt} = \frac{A}{2B}-\frac{A'}{4B}\left(\frac{A'}{A}+\frac{B'}{B}\right) + \frac{A'}{rB},\cdots$

这里就不一一展示了。因为我们所求的是真空解,爱因斯坦方程的右边设成零即可。最终得到的Schwarzschild解如下:

$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{r^2} \right )dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r^2} \right )^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2$

这里的 $d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2$ 。接下来,把这个度规带入到测定线方程中:

$\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma}\frac{dx^\rho}{d\lambda}\frac{dx^\sigma}{d\lambda} = 0$

通过求解这个方程组,我们就能得到一个物体是如何在时空中运动的。比如,在太阳引起的弯曲时空中,地球、水星等的运动轨道 $x^\mu$ 。由于这个方程组不太容易直接求解,通常我们会利用对称性和守恒量来简化计算,这里就展示一下其中的一个方程:

$\frac{d^2u}{d\phi^2} + u = \frac{GM m^2}{L^2} + \frac{3GM}{c^2} u^2$

其中, $u=1/r$ ,L是轨道角动量(守恒量),r是地球、水星或者其他星体到太阳的径向距离。上面这个方程右边的第一项可以从牛顿力学得到(参考力学教程),第二项是广义相对论的修正。这两项的比值大概是:

$\left(\frac{L}{mrc} \right )^2 \approx \left(\frac{v}{c} \right )^2$

这下你看到广义相对论与牛顿力学的区别了吧?在低速近似下,广义相对论将回到牛顿力学。至于上面这个方程如何求解,是个纯数学问题,就不再展开了。另外,通过求解该方程,还可以计算出水星近日点的进动角。在牛顿力学中,我们无法解释水星每世纪43"的进动角,有了广义相对论的修正,却可以很好得解释它,这也正是广义相对论的成功之处。当然,太阳系中,其他的每一颗行星都有进动角,只是它们的相对论效应比较小,用牛顿力学就足以能够解释了。”

(未完待续……,预告:下次会讲到宇宙中的视界)



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