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1.考虑生成函数,其中,x是随机变量,y是x的共轭变量,平均对x进行。对于y=0泰勒展开:
并且有:
这就是累积展开,其中,<xn>c,x是随机变量的累积量平均。容易知道:
其中,随机量涨落Δx=x-<x>x.
由式(2)泰勒展开知道:
这里,我们定义χx,y为随机变量x对共轭变量y的响应函数。关系(4)是一个生成函数展开至二级项,即高斯近似,之下得到的重要关系,反映了随机量涨落和随机体系对外界响应性质之间的关系。在统计力学中,称为线性响应定理,是涨落耗散定理的静态版本。涨落耗散定理的最简单版本见 Einstein 的 D=kT/ζ,涨落项反映为扩散系数 D,耗散项反映为摩擦系数ζ.为什么有这个关系?原因是从微观角度上,噪声涨落项和摩擦耗散项均源自于分子的无规运动。
在数学里,生成函数Z可以是随机量x分布函数的傅里叶变换,此时共轭量y=ik.在统计物理里,生成函数Z是配分函数,选取不同的共轭变量对x和y,可以得出不同的涨落耗散关系。
如果选择 x=E,y=-β,由(4)可得
这里,能量对β的响应函数就是定容比热。
若选择 x=S,y=-h,可得响应函数为磁化率等。
2. Note on Linear Response Theory
Linear Response_Bing Miao@UCAS.pdf
3. Blob Argument for Fluctuation-Dissipation Theorem of Energy Fluctuation
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GMT+8, 2024-5-10 08:56
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