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波尔兹曼方程的单粒子解

已有 2941 次阅读 2016-2-26 05:08 |个人分类:答疑|系统分类:科研笔记| 统计力学

波尔兹曼方程在统计上描述粒子的运动(transport)。有博主认为该方程有误,但更可能是该博主理解有误。由于这是一个统计力学的问题,单粒子解本身没有太多的物理意义,但可以让我们认识到波尔兹曼方程和牛顿力学是没有矛盾的,并同时理解分布函数的坐标与粒子轨迹的区别。


单粒子的分布函数显然是: $f(x, v, t) = c\delta (x-r(t))\delta (v-\dot{r}(t))$ ,其中f(x,v,t)是分布函数,δ是狄拉克函数,r(t)是该粒子的轨迹。使用简单的求导规则,我们可以得出单粒子的分布函数满足:

$\frac{\partial f}{\partial t} = -\frac{\partial f}{\partial x}\dot{r}(t)-\frac{\partial f}{\partial v}\ddot{r}(t)$


单粒子的分布函数应服从无碰撞的波尔兹曼方程:


ft+vfx+Fmfv=0


代入前式后我们得到:

$(v-\dot{r}(t))\frac{\partial f}{\partial x}+(\frac{F}{m}-\ddot{r}(t))\frac{\partial f}{\partial v} = 0$

这显然是符合牛顿力学的:在分布函数不为零的地方,粒子轨迹满足

$v-\dot{r}(t)=0, \frac{F}{m}-\ddot{r}(t)=0$


补充:

多粒子的分布函数可以表达为单粒子解的叠加:$f(x,v,t)=\sum_{i}\delta(x-r_i(t))\delta(v-\dot{r_i}(t))$,其中$r_i(t)$是粒子i的轨迹,满足牛顿方程。考虑偏微分方程的边界条件问题,波尔兹曼方程有7个微分变量(x,v,t),一个自然的边界为t=0,要求f(x,v,0)可为任意分布。由于牛顿方程允许每个粒子轨迹满足任意的两个初始条件$r_i(0)$和$\dot{r_i}(0)$,在有足够多的粒子的情况下(连续近似),多粒子的叠加解是可以满足任意的边界条件的。


陈博主的观点可见于:

1. http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=38149&do=blog&id=958056 

2. http://blog.sciencenet.cn/blog-38149-667239.html

 



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