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没有收敛序列的聚点是否存在?(2)

已有 5802 次阅读 2015-4-7 03:36 |个人分类:拓扑|系统分类:科普集锦| 拓扑

上一篇问了这个问题,但只探讨了一种可能性,且答案是否定的。这一篇我们来探讨一个肯定的例子。上一次讲得比较正式,因为我事先也不知道答案是什么,必须使用严格的数学推理才能保证不犯错误。而且找到了我自认简洁明了的表述方式,结果也让我吃了一惊,心中快活,发出来希望分享,虽然能分享的人可能不多。本篇的结果比较经典,主要是理解的问题,能够受益的朋友可能更多一些。

先复习一下背景,我们在探讨拓扑空间里的一些问题,见应行仁老师的精选博文。拓扑空间的结构是由开集的定义所决定的,在这里我们只需要使用一种比较自然的构造,相当于实数上的开区间。我们关心的是聚点(又称极限点,下面我会用这个名称来代替)和收敛序列之间的关系。

第一可数空间的极限点,都会有收敛于斯的可数序列。所以要找没有收敛序列的极限点,我们需要不是第一可数的空间。这些空间都很不平常!上一篇我们探讨了cofinite拓扑,但没有找到我们想要的例子。这一次我们来谈谈ordinal数和空间,找到我们要的东西!

ordinal数是集合论里的概念,和我们用自然数来数数息息相关。我们数数时很自然地有一个分配位置的概念,ordinal数要代表的就是这个位置。排位置自然地引入了一种次序(order),而且是一种完全次序(complete order),意即任给两个数,我们总能指出哪一个在前,哪一个在后。我们用"<"来表示前后关系。a<b表示a在b前。那我们如何排位置呢?学过计算机理论,甚或只是函数编程(functional programming)的朋友都会很容易理解:

1. 我们先定义一个零,作为最初的位置;

2. 我们再定义一个“下一个”的关系,每一个位置后面都还有下一个位置。

在集合论里,我们可以用空集{}来代表ordinal数的0。任给一个ordinal数x,我们说下一个ordinal数是所有前面的ordinal数的集合,标记为x+1。我们下面列一下头几个ordinal数和对应的自然数:

0:{}

1:{{}}

2:{{},{{}}}

3:{{},{{}},{{},{{}}}}

。。。

对于有限的数来讲,用ordinal数或自然数来标记位置没有真正的区别,我们可以都用自然数来代表(即我们在符号上可以交替使用,如0和{},1和{{}})。但是用集合的概念,我们注意到x既是x+1的元素,也是x+1的子集,x+1是x和{x}的并集!这样做是允许的,因为x本身就是集合。

同样,我们用(a,b)来表示a与b之间但不包括a,b的数的集合{x|a<x, x<b},相当于自然数上的开区间。[a,b),(a,b]和[a,b]的定义也与相应的区间概念等价。但是使用集合表述,我们注意到[0,a)也是一个ordinal数,实际上就是a![0,a]则和a+1是同一个ordinal数!这很方便!但如果a不是0,[a,b)和[a,b]都不是ordinal数。(a,b)则从不是数。

到目前为止,我们的定义和自然数没有本质区别。用开区间定义的拓扑(order topology)也很平凡。所有的集合都是有限的,都没有集合外的极限点,也就不存在收敛的问题。但是,ordinal数的集合身份及a和区间[0,a)的等价关系,让我们可以对自然数进一步地引申。

下面我们引入第一个显像的无穷,也可以显示我们用集合来标记位置的苦心。所有的对应自然数的ordinal数,就像自然数本身,组成一个集合N,如果放入我们的序列,位置应该在哪?如果注意到我们前面定义的前后关系<,也同时是集合的从属关系和子集关系,即若a<b,则a属于b,同时a是b的子集。所以N必须在所有自然数的后面,这个位置用 $\omega$ 0(亦做 $\omega$ )这个ordinal数来标记。注意 $\omega$ 0和[0, $\omega$ 0)一样,是一个集合(即N),对应于自然数集。[0, $\omega$ 0]和 $\omega$ 0+1一样,等于 $N\cup\left \{ N \right \}$ 。

$\omega$ 0这个位置比较奇特。此前的ordinal数,除0外,都有“前一个“(x+1的前一个是x)。但”前一个“对 $\omega$ 0没有意义,我们找不到一个x+1是 $\omega$ 0的ordinal数x。这和没有一个最大的自然数同理。

引入 $\omega$ 0让我们的拓扑变得更有意思,它是我们的第一个极限点。我们考虑[0, $\omega$ 0]上的拓扑,定义如前面的order topology。注意,这里的每个拓扑我们都认为是从一个更大集合上的拓扑诱导而来,因为我们要建越来越大的集合。因此,(a, $\omega$ 0]是 $\omega$ 0的一个(开)邻域。由于没有前一个, $\omega$ 0所有的开邻域都含有无穷多个元素(ordinal数),当然和[0, $\omega$ 0)有非空交集,根据定义, $\omega$ 0是[0, $\omega$ 0)的极限点。也就是说, $\omega$ 0是 $\omega$ 0的极限点!

所有的ordinal数,都有“下一个”。 $\omega$ 0也不例外,下一个是 $\omega$ 0+1,再下一个是( $\omega$ 0+1)+1或记为 $\omega$ 0+2,一直下去,其极限点记为 $\omega$ 0*2,等等。我们可以不断地扩展下去,需要时加上极限点再接着扩展。这样定义的ordinal数都是可数的。继续使用集合论,所有这些可数的ordinal数的集合的位置在哪里?当然在所有的可数的ordinal数的后面。定义第一个这样的位置为 $\omega$ 1。这个位置的存在借助于良序性well-ordered这个性质:我们所有的子集,可以没有最后面,但总是有最前面;例如[a, $\omega$ 0)没有最后,但最前的一个是a。(具体到一个ordinal数,则可以没有前一个,但必有下一个!仔细想想,这两者是一致的,而且是非常关键的。)

$\omega$ 1在所有的可数的ordinal数之后,也就是我们的第一个不可数的ordinal数。同前, $\omega$ 1是 $\omega$ 1=[0, $\omega$ 1)的极限点。但是[0, $\omega$ 1)中没有收敛于 $\omega$ 1的可数序列!为什么?因为可数个可数集合的并仍然是一个可数集合。用到ordinal数上,每个可数ordinal数都是一个可数的集合,可数个可数ordinal数的并是一个可数集合,而且是另一个ordinal数。从[0, $\omega$ 1)中取任意可数序列,这个序列的并是一个ordinal数o;序列本身也构成一个可数集合,而且是o+1的子集!o+1和(o+1, $\omega$ 1]没有交集,而后者是 $\omega$ 1的邻域,所以该序列不在 $\omega$ 1的一个邻域中,也就不收敛于 $\omega$ 1。Eureka!找到了!在[0, $\omega$ 1]上的order topology, $\omega$ 1是[0, $\omega$ 1)的极限点。但是[0, $\omega$ 1)中没有收敛于 $\omega$ 1的可数序列。

仔细品味一下,为什么答案一下子就冒出来了? $\omega$ 0和 $\omega$ 1都没有前一个,所以都是极限点。不同的是, $\omega$ 0有可数的邻域,但 $\omega$ 1的每一个邻域都是不可数的,一个可数的序列无法趋近之。注意”没有前一个“的重要性。为了构造一个邻域,我们需要提供一个在最前面的ordinal数。正因为没有前一个,我们能构造的邻域都有无穷个元素。

再说一下可数的概念。”可数“表达的是集合中的元素有多少,我们用cardinal数来代表。一个有限的ordinal数与代表其集合大小的cardinal数没有本质区别,都等同于与其对应的自然数。但在无限的时候就不一样了,所有的无限且可数的集合的大小都只有一个cardinal数来代表,记做N0(aleph-0)。集合大小的比较,通过集合间的一对一injective映射来建立。Gamow《从一到无穷大》介绍的无穷就是这个概念。比如我们前面用到的一个性质:可数个可数集合的并仍然是一个可数集合。我们很容易想象这个集合的集合到有理数的单射,(比如用有理数的分子对应一个集合,用分母对应分子指向的集合中的具体元素),而有理数是可数的。

我们知道,在正常实轴上,点之间可以有大小左右的比较,而且每个无理数都有收敛于其的有理数序列。这是因为实轴上可以建立距离的概念:给出实区间(a,b),(a+b)/2存在且能让我们建立测度上小一半的新区间,就象Xeno很多年前就认识到的那样。在ordinal数上,我们无法建立全集上可用的距离。乍一看,我们似乎可以定义x和x+1的距离为1,但这个概念只能用于局部,不能扩展到极限点。在实轴上则没有”下一个“的概念,任给一有理数或实数,我们无法说下一个有理数或实数是什么。正是这些不同造成了ordinal空间和正常实空间拓扑上的差异。

注:前文中的ordinal数的集合标记形式,源于现代计算机结构的发明人,称为Von Neumann数。

好了讲得够多了。其实这些概念Wikipedia上的文章都有很好的定义,而且如果从讲第一可数空间的这一篇起步,链接可以很方便地把人带到所有需要的定义。但是如果没有一个中心的话,这些文章讲的概念太多,让人无所适从。我为了搞清楚标题里的问题,只学习与其相关的部分,再补充我自己的逻辑演绎和理解,发在这儿与大家分享,希望能让这些概念更容易接受,当然如有错误与不足也希望能得到指正。

补充:细心读过上一篇证明的朋友,可能注意到我在建造序列时使用了一个有限出现的概念,特意排除了类似本文 $\omega$ 的构造。因为上一篇我只需要证明存在性,我可以有任意限制序列构造的自由。涉及本文的显无穷的推理,其逻辑自洽性不是显然的,事关数学的逻辑基础问题,一定要小心,不然很容易出谬论。我平常关心机器证明,一般局限于计算机程序的设计,对数学的证明关心不多,因为水太深了。这一次没想到通过对抽象拓扑的一个问题的探讨,让我明白了很多以前仅限于耳闻的概念,高兴之余,写下来做个记录,也把思路做个梳理,基本到此打住。但以后如有时间和机会,可能会从机器证明的角度再写一些。




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