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没有收敛序列的聚点是否存在?

已有 5493 次阅读 2015-4-5 06:22 |个人分类:拓扑|系统分类:科研笔记| 拓扑

本篇是我自己推导的结果,为了不犯错,写得比较严格,而且对题目中的问题没有找到肯定的答案。关心标题问题的朋友可以先看下一篇,更容易理解一些。当然喜欢严格推导的朋友,应该坚持下去,相信会有收获。

应老师有一篇博文讲拓扑。在应老师的尽心指导下,快速地学了一些拓扑学的知识。特别是”第一可数“和聚点的概念,没有以前接触过的印象,比较新鲜刺激。

应老师和Wikipedia指出,实数集R上的cofinite拓扑是第一可数的反例。这里先复习一下概念:

1. R的cofinite拓扑中的开集({}除外)是R上抛去有限个点后的余集,也就是说,这个拓扑中的所有(R除外)闭集都只含有有限个点。

2. 拓扑空间第一可数的定义是其每一个点存在可数的邻域基。注意:邻域基是邻域的集合。

2’. 第一可数的另一可能定义是拓扑空间的任意子集合A如果有聚点x,那么A中都能找到收敛于x的可数序列。

说2'可能,是因为经过让我头疼的思考,仍然找不到反例。2和2’不等价,相反,可以证明R的cofinite拓扑不是第一可数的,但是满足2‘。具体证明如下。


预备:

对一个序列xn,定义其suffix(N)为集合{xk|k>N}。这样xn收敛于x,iff(if and only if)对x的任何邻域存在N,suffix(N)是该邻域的子集。对任意元素x,如果存在N,x不属于suffix(N),我们说x在xn中(最多)出现有限次。

任意含有无穷个元素的集合X上的cofinite拓扑都比较特别:

3. 由于所有的非空开集只从全集里抛去了有限数目的元素,任意一对非空开集的交都是一个非空开集。因此每一个元素都是任一非空开集的聚点。同理包含了一个非空开集的集合本身也是开集,X所有元素的所有的邻域都是开集。

4. 如果有一个序列xn,X所有的元素每一个在序列中最多出现有限次,则该序列收敛于X的所有元素。这是因为对X任意元素x的任意邻域A,X-A是有限的,其每一元素在xn只出现有限次,因此存在N,X-A和suffix(N)的交集为{},suffix(N)是A的子集。

可见这个拓扑上的收敛很特别!


先证明R的cofinite拓扑没有可数的邻域基。这个证明对任何不可数的集合上的cofinite拓扑都成立。

用反证法。假设某一点x有可数的邻域基。取S为该邻域基中的邻域的补集的并集,由于每一个补集都是闭集,只含有有限的点,所以S可数。R不可数,R中存在不属于S的y且y不等于x。R-{y}是除y以外所有的点的邻域,也是x的邻域。R-{y}不包含该邻域基的任何一元,因为它们都含有y。这与邻域基的定义矛盾。证毕。


再证R的cofinite拓扑符合2’。这个证明对任何有无穷个元素的集合都成立。

考虑R的任意子集A,如果A的点数有限,A是闭集,所有的聚点都在A中,trivially存在序列收敛于聚点(对一般闭集而言,重复该点即可;在这个拓扑上闭集没有聚点,就更trivial了)。如果A的点数无限,参照4,从A中取点构造xn,R中的任一点在xn中最多出现有限次,据4,xn收敛于R的所有的点,当然包括(事实上等同于)A的所有聚点。


按应老师文中的定义,cofinite拓扑定义T1空间,而非Hausdorff空间,是比较粗糙的拓扑,实际意义恐怕不大,但可以为理解拓扑的概念练练兵。多谢应老师的辅导!



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