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对爱因斯坦布朗运动论文结论的现代理解

已有 6647 次阅读 2016-12-25 13:43 |个人分类:物理|系统分类:科研笔记| 物理, 统计力学, 布朗运动

岳东晓博主的《粘滞阻力、布朗运动、爱因斯坦》一文介绍了Einstein在1905年发表的关于Brownian motion的论文,并链接了Einstein原文的英文译文。老实地说,我对Einstein的原文并不能吃透。如果哪位老师能完整地介绍Einstein原文,特别是他关于热力学的推导,那我会是感激不尽。

1905年是Einstein的奇迹之年(annus mirabilis),也是现代物理的前夜。当时物理学人普遍接受的理论和我们现在有很多不同,比如Einstein的老前辈Mach就不接受原子论。 Einstein开篇的首要讨论就是提出Brownian粒子和普通分子一样遵守热力学分布。作为一个现代人,我们自然接受这个思想,可以直接从Maxwell-Boltzmann统计出发,就省不少力气。

我们考虑Brownian粒子在一个外力势场U(x)达到热力学平衡后的分布ρ(x)。根据Maxwell-Boltzmann统计:$$ \rho (x)=Ae^{-\frac{U(x)}{k_{B}T}}$$

这些粒子的分布不是均匀的,因为粒子更倾向于待在势能低的位置上。由于分布不均匀,粒子的随机运动就会导致粒子的扩散,扩散的流量根据Fick's law是:$$ J_{diffusion}(x)=-D\triangledown \rho (x) $$

代入上面的分布后,我们得到:$$ J_{diffusion}(x)=-D\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}U}\triangledown U(x)=D\frac{\rho (x)}{k_{B}T}\triangledown U(x) $$

因为按假设我们处于热力学平衡,粒子的密度不随时间变化,粒子在每处的净流量都是零。必须有另一种粒子运动抵消粒子的扩散,而这就是粒子在外力影响下的漂移,其流量和扩散相抵:$$ J_{drift}(x) + J_{diffusion}(x)=0 $$

我们假设这些粒子的质量足够小,在外力的作用下瞬时达到终极速度。(为啥会有一个终极速度?如果粒子加速的过程不终止,我们就不会有热力学平衡,和我们的假设矛盾!)就象电阻中的电流,我们的漂移流量和外力成正比:$$ J_{drift}(x)=-\mu \rho (x)\triangledown U(x) $$

其中μ是粒子的流动性(mobility),其物理意义为:在外力f下,ν=μf是粒子的终极速度。漂移和扩散相抵让我们得到:$ D\frac{\rho (x)}{k_{B}T}\triangledown U(x) $$ \mu \rho (x)\triangledown U(x) $

简化后粒子的分布和外势都从其中消失!我们得到一个独立于具体分布和外力的普遍关系:$$ D=\mu k_{B}T $$

这就是动力学中的Einstein关系。

下面我们考虑粒子在流体中的运动。粒子达到终极速度后加速度为零,因此受到的静作用力为零。势场对粒子的作用力和流体对粒子的阻力必须相互抵消。假设粒子是理想的球型,在流体中的阻力满足Stokes公式:$$ f_{s}=-6\pi \eta Rv $$

其中η是粘滞系数,R是球体半径。由于在势场力f下,ν=μf是粒子的终极速度,而且f+fs=0,让我们得到:$$ \mu =\frac{1}{6\pi\eta R} $$

代入上面的Einstein关系,我们最终得到:$$ D=\frac{k_B T}{6\pi\eta R} $$

又名Stokes-Einstein等式。

Wikipedia的相关文章写得很好,值得参考。




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