岳东晓博主的《粘滞阻力、布朗运动、爱因斯坦》一文介绍了Einstein在1905年发表的关于Brownian motion的论文，并链接了Einstein原文的英文译文。老实地说，我对Einstein的原文并不能吃透。如果哪位老师能完整地介绍Einstein原文，特别是他关于热力学的推导，那我会是感激不尽。

1905年是Einstein的奇迹之年(annus mirabilis)，也是现代物理的前夜。当时物理学人普遍接受的理论和我们现在有很多不同，比如Einstein的老前辈Mach就不接受原子论。 Einstein开篇的首要讨论就是提出Brownian粒子和普通分子一样遵守热力学分布。作为一个现代人，我们自然接受这个思想，可以直接从Maxwell-Boltzmann统计出发，就省不少力气。

我们考虑Brownian粒子在一个外力势场U(x)达到热力学平衡后的分布ρ(x)。根据Maxwell-Boltzmann统计：$$ \rho (x)=Ae^{-\frac{U(x)}{k_{B}T}}$$

这些粒子的分布不是均匀的，因为粒子更倾向于待在势能低的位置上。由于分布不均匀，粒子的随机运动就会导致粒子的扩散，扩散的流量根据Fick's law是：$$ J_{diffusion}(x)=-D\triangledown \rho (x) $$

代入上面的分布后，我们得到：$$ J_{diffusion}(x)=-D\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}U}\triangledown U(x)=D\frac{\rho (x)}{k_{B}T}\triangledown U(x) $$

因为按假设我们处于热力学平衡，粒子的密度不随时间变化，粒子在每处的净流量都是零。必须有另一种粒子运动抵消粒子的扩散，而这就是粒子在外力影响下的漂移，其流量和扩散相抵：$$ J_{drift}(x) + J_{diffusion}(x)=0 $$

我们假设这些粒子的质量足够小，在外力的作用下瞬时达到终极速度。（为啥会有一个终极速度？如果粒子加速的过程不终止，我们就不会有热力学平衡，和我们的假设矛盾！）就象电阻中的电流，我们的漂移流量和外力成正比：$$ J_{drift}(x)=-\mu \rho (x)\triangledown U(x) $$

其中μ是粒子的流动性(mobility)，其物理意义为：在外力f下，ν=μf是粒子的终极速度。漂移和扩散相抵让我们得到：$ D\frac{\rho (x)}{k_{B}T}\triangledown U(x) $ 等于 $ \mu \rho (x)\triangledown U(x) $

简化后粒子的分布和外势都从其中消失！我们得到一个独立于具体分布和外力的普遍关系：$$ D=\mu k_{B}T $$

这就是动力学中的Einstein关系。

下面我们考虑粒子在流体中的运动。粒子达到终极速度后加速度为零，因此受到的静作用力为零。势场对粒子的作用力和流体对粒子的阻力必须相互抵消。假设粒子是理想的球型，在流体中的阻力满足Stokes公式：$$ f_{s}=-6\pi \eta Rv $$

其中η是粘滞系数，R是球体半径。由于在势场力f下，ν=μf是粒子的终极速度，而且f+f_s=0，让我们得到：$$ \mu =\frac{1}{6\pi\eta R} $$

代入上面的Einstein关系，我们最终得到：$$ D=\frac{k_B T}{6\pi\eta R} $$

又名Stokes-Einstein等式。

Wikipedia的相关文章写得很好，值得参考。