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基础理论的自然美

已有 2903 次阅读 2020-10-14 22:43 |系统分类:科研笔记| 数学之美, 几何代数, 微分几何, 统一场论, Penrose

最近看到博文《自然的数学观》[1]，Penrose认为“ 自然的新数学模型并不是仅仅为了寻求符合事实的最佳理论而发明的人造物，更明白地说，数学纲领其实已经在大自然的运行中发生作用了。这种数学的简单性（或简洁性或随你怎么形容它）是自然行为方式的真实部分，而不是我们的头脑习惯被数学美所感染。另一方面，当我们有心用数学美的准则去构建理论时，很容易被引向歧路。” 杨振宁先生最近也表达过类似的观点，认为数学不仅仅是研究物理的工具，而是基础理论的一部分。这也算是对他自己的“数学和物理的双叶理论”的一次重要改进。

我完全赞同这样的观点，而且一直在苦苦寻觅这套造物主的密码系统。如果看过我的新书《几何代数和统一场论》，应该会同意我可能已经找到了这套密码，这就是Clifford代数或几何代数。这个代数建立了一百多年，得到了很多数学和物理大师的深入研究，已有广泛的应用[2]。如果将有关概念稍作推广和重新解释，几何代数就是描述基础物理和量化数学的自然语言和工具，自然地统一了现有基础理论的大部分内容。这是因为几何代数的定义自动蕴含了向量、长度、角度、面积和体积等几何概念，将标量、旋量、向量、外积和张量等代数运算统一起来，忠实地描述几何和物理中内容，不多也不少。几何代数推广了实数、复数、四元数和向量代数，将复杂的关系和运算转化为独立于坐标系的矩阵代数。通过引入微分算子和联络算子，Clifford代数也包含了微分几何。几何代数运算类似于算术的加减乘除，每个一般智力的人都能很好地理解。这一特点对教学目的非常有用，如果在高中和大学推广几何代数，将大大提高学生学习数学和物理基础知识的效率。

学习现代数学的真正困难在于，为了理解一个很小的结果，我们需要掌握一长串微妙的概念。数学家习惯于在概念之上定义概念，如果学习概念的链条断裂，随后的内容将是不可理解的。除了专业人士外，普通读者不可能有那么多时间仔细检查和理解所有的概念。幸运的是，Clifford代数可以避免这个问题，因为几何代数只依赖于一些简单的概念，并且同构于一些特殊的矩阵代数；Clifford代数的规则是标准化的，适用于无脑操作。因此，可以预期克里福德代数将完成科学知识体系的一次大综合。

在我的印象中Penrose是个信奉繁琐哲学的人，所以我一直不是很欣赏他的东西，觉得他抓不住问题的要领。例如他和Newman搞的那套零标架表示：

瞟一眼都觉得浪费时间，真是佩服他们的耐心。自然规律怎么可能是这幅样子。现在Penrose的观念能有这样的转变实属难得。还有梁灿彬老先生，出国回来准备在国内推广Penrose等人开发的微分几何抽象记号系统[3]。形式上微妙易错，实质内容又没有表达清楚，很难掌握。经过二十多年的努力，最后老先生捧书感叹：微分几何推广起来怎么这么难！

大自然的书是用最简单但是最精美的数学写成的。看看我书中的内容，心情应该是完全不同的。