在伊斯坦布尔参观“纯真博物馆”时，贯穿在小说中作者（Orhan Pamuk，1952-）所表达的时间观引起了我的注意，帮助我再思考图灵1936年论文中的“可计算数”消失的现象。

一，“时间”与“时刻” ：亚里士多德的区分

在博物馆墙上有段在小说“纯真博物馆”中关于“时间”的文字：

在物理学中，亚里士多德区分了“时间”和他描述为“现在”的单个时刻。单个时刻——就像亚里士多德的原子——不可分割、牢不可破的单位，但时间是连接它们的线。

我的生活告诉我，记住时间——连接亚里士多德称之为现在的所有时刻的线——对我们大多数人来说是相当痛苦的。

然而，如果我们能学会不再将生命视为与亚里士多德的时间相对应的一条线，而是最深刻的时刻，那么在我们所爱的人的餐桌上徘徊八年就不再显得奇怪和可笑了，取而代之的是，在芙颂身边度过了1593个幸福的夜晚。

为了给后代留下这些幸福的时刻，我收集了这些曾经感受过芙颂抚摸过的大大小小的物件，一一记录下来，留作记忆。

二，“可计算数”与“停机” ：学术界的混淆

1，“停机”与“可计算性”

“停机”，指图灵机计算一个实例时是否停机给出结果。

“可计算性”，指图灵机计算一个问题的能力，“如果一个函数的值能被某个纯粹的机械过程（通用过程）求得，那么此函数就是可计算的”。

图灵说：

对于每一个“通用过程”的问题，都可以表示为关于通用过程判定一个给定的整数n是否具有某个属性的问题（例如，G(n)可能表示“n是可满足的’’或者“n是一个可证明公式的Godel表达’’），这相当于计算一个数，如果G(n)为真，此数的第n个数字为1；如果G(n)为假，则此数的第n个数字为0。

图灵在1936年论文中将所有实例的计算结果连接在一起表达为“可计算数（computable number）”，然后用“可计算数”表达“可计算性”。

2，例子：考拉兹序列

比如，表达为递归函数f(n)的考拉兹序列：

f(n) = 1 (n=1)
f(n) = f(n/2) (n is pair)
f(n) = f(3n+1) (n is impair)

从“停机”的角度，考拉兹猜想：递归函数 f(n)对于给定的正整数n是否停机？

从“可计算数”的角度，考拉兹猜想：递归函数 f(n)能否写下“可计算数”：f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)… = 111111？

所以，“停机”与“可计算数”看似相似，但是仔细观察可以看到，“停机”的角度是指具体实例的计算，而“可计算数”的角度是指整个问题（所有实例）的计算。

如果用亚里士多德区分的“时间”与“现在”作类比的话，可以看得更清楚：

“时间”就对应“可计算数”：“时间”是连接称之为“现在”的所有时刻的线，那么“可计算数”就是连接所有的实例的计算结果的线。既然“时间”与“现在”是二个层次不同的概念，那么“停机”与“可计算数”也就是二个不同层次的概念。

“纯真博物馆”中的主人翁凯末尔自主选择忘记“时间”的痛苦，而记住留下幸福感觉的“时刻”，但是在科学研究中，如可计算性理论和计算复杂性理论中，我们却不能忘记“可计算数”（问题），只记住“停机”（实例），也就是说，不能用“停机”来代替“可计算数”所表达的“可计算性”！

“可计算数”是“可计算性”的象，让“可计算数”消失，就是让“可计算性”消失，从而导致人们无法真正理解图灵1936年的工作，无法真正理解哥德尔不完备性定理的本质，也就无法真正理解“不可判定问题”的本质，。。。