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关于“哥德尔的不完全性定理- 2022/5/9 - 5/11
BasicRabbit:
我同意你的观点:ω-coherence的概念很重要。在 (https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_om%C3%A9ga-coh%C3%A9rente) 中写道:
« D’un point de vue sémantique, dans la définition ci-dessus le n fait référence à un entier standard, qui renvoie à un entier « ordinaire » (un entier du méta-langage dans lequel on raisonne sur la théorie) ».
一句法国谚语说:“赶走本性,它又跑回来了!”(Chassez le naturel il revient au galop!), 一个变体:“赶走元语言,它又跑回来了!”
Yu LI:
我想介绍波利亚猜想(Polya Conjecture),这与哥德尔编码有关。
波利亚猜想波利亚猜想是由匈牙利数学家乔治-波利亚(George Pólya,1887 – 1985)在1919年提出:对每个x>1,在不超过x的正整数中,含有奇数个质数因子(不一定是不同的)的整数个数不少于含有偶数个质数因子的整数个数。
比如:
18 = 2^1× 3^2 : 3个质数因子
17 = 17^1 : 1
16 = 2^4 : 4
15 = 3 x 5 : 2
14 = 2 x 7: 2
13 = 13 : 1
12 = 2^2 x 3 : 3
11 = 11 : 1
10 = 2 x 5 : 2
9 = 3^2 : 2
8= 2^3 : 3
7 = 7 : 1
6 = 2 x 3 : 2
5 = 5 : 1
4 = 2^2 : 2
3 = 3 : 1
2 = 2 : 1
含有奇数个质数因子的整数 : 18, 17, 13, 12, 11, 8, 7, 5, 3, 2 : 10
含有偶数个质数因子的整数 : 16, 15, 14, 10 9, 6, 4, 1 : 8
在很长时期里,人们都认为波利亚猜想是正确的,直到1958年,哈兹尔格罗夫(Haselgrove)从理论上证明了存在着无穷多个反例。
1962年莱曼(Lehman)找到了一个具体反例:906 180 359,从而证伪了波利亚猜想。
Référence :
https://en.wikipedia.org/wiki/Pólya_conjecture
BasicRabbit:
如果你对认识论和科学哲学比对技术更感兴趣(我想你是这样的),那么你应该看看集合理论(ZFC),特别是大基数理论(它几乎与不完全性定理直接相关)。
在西方哲学中,著名的苏格拉底的箴言:“认识你自己”。在ZFC中,这种反省是不可能的:ZFC模型不存在严格的基本反省。但通过增加越来越大的基数假设(拉弗的基数目前是最大的(?),即通过越来越多地完成ZFC,人们越来越接近这种反省。
Patrick Dehornoy是这方面的专家之一: https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLV.pdf(按时间顺序的参考资料和本章的摘要在最后)。
Yu LI:
对应法国的谚语 “赶走本性,它又跑回来了!”中文有一句类似的话:“江山易改,本性难移”。
哥德尔不完全性定理已经存在了很多年,但很难看到哥德尔在生前与人们就他的论文进行直接对话。值得注意的是,策梅洛在1931年发起了与哥德尔的建设性对话,不幸的是,不久哥德尔就结束了,正如维基评论的那样:
– In September 1931, Ernst Zermelo wrote to Gödel to announce what he described as an « essential gap » in Gödel’s argument. In October, Gödel replied with a 10-page letter, where he pointed out that Zermelo mistakenly assumed that the notion of truth in a system is definable in that system (which is not true in general by Tarski’s undefinability theorem). But Zermelo did not relent and published his criticisms in print with « a rather scathing paragraph on his young competitor » (Grattan-Guinness, pp. 513). Gödel decided that to pursue the matter further was pointless, and Carnap agreed (Dawson, p. 77). Much of Zermelo’s subsequent work was related to logics stronger than first-order logic, with which he hoped to show both the consistency and categoricity of mathematical theories.
我认为哥德尔的证明有三个重要的成分:元语言、递归函数和ω-一致性。人们无法回避对这些概念的讨论。
BasicRabbit:
对我来说,在(1)的第300页末尾的评论中,ω一致性介入的方式是很清楚的:
« Dans la démonstration ci-dessus |4.4.4 (et 4.4.5 dans le cas particulier où T=PA1)], la dissymétrie entre ∆ et ¬∆ provient de l’impossibilité de passer directement de T ⊢ Prouvable T ( ‘Φ’ ) à T ⊢ Φ, forçant à utiliser l’hypothèse, a priori plus forte, que T est ω-consistante. En effet, la relation T ⊢ PreuveT(S’Φ’0,Sp0) pour un entier (standard) p implique T ⊢ Φ, mais la relation T ⊢ ∃ y (PreuveT(S’Φ’0,y)), elle, ne garantit pas l’existence d’un tel entier : ».
(对我来说,使用完全性定理可以从语义上看到(一个 "真 "的证明要求 "Φ "是一个标准的整数),在语法上很难看到)。
对我来说,我们在这个证明中看到了语言层次的差异,它允许将一个悖论(说谎者悖论)转化为一个定理(上述解释在第301页的评论结束时完成),解除(在我看来......)PJ的主要异议。
1: https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLI.pdf
Yu LI:
@BasicRabbit,你说:
“我以哥德尔想证明可证明性优于真理的观点开篇(这种观点一直到他生命的最后一刻,当他试图证明上帝的存在时,都可以发现) ”
但在Casti & DePauli的书中说:“哥德尔发现的是,即使纯数之间存在真正的关系,演绎逻辑的方法也只是太弱了,我们无法证明所有这样的事实。换句话说,真理只是比证明大”(见Paul 在本博客的文章)
那么,哥德尔究竟说了什么?
在我看来,要知道哥德尔到底说了什么,最好的办法是阅读他的原文。
BasicRabbit:
你说:“在我看来,要知道哥德尔到底说了什么,最好的办法是阅读他的原文”。
要知道哥德尔的“历史”陈述和证明是否正确,是你(和PJ)的问题。严格来说,我感兴趣的是,目前的不完全性定理—其中的假设被大大削弱,证明被大大简化和澄清--是否正确。我倾向于认为,这个问题的答案是肯定的,可证明性和真之间的区别,以及语言和元语言之间的区别,现在在形式逻辑中已经得到很好的理解。
Yu Li:
我发现,« Chassez le naturel il revient au galop! »,这句格言完美地表达了一种精神:我们不应该试图改变别人的想法。
因此,当我们交流时(exchange),不是要改变对方的想法(change),而是要意识到自己没有看到的东西,并相互补充。
到目前为止,我们已经有了如此丰富的对话!
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