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亚历山大·格罗滕迪克的学术思想

已有 941 次阅读 2022-5-25 18:29 |个人分类:解读哥德尔不完全性定理|系统分类:科研笔记

19836月到19862月间,格罗滕迪克写作了自传体《收获与播种:一个数学家过去的思考和见证》 Récoltes et SemaillesRéflexions et témoignages sur un passé de mathématicien 这部著作不仅包括他对生平发生的事件的回忆,而且也包括对那些事件的深入细致的分析和他用对自己和对世界的观点来调和那些意义的尝试,导致了他对于发现和创造在数学或者更一般意义上扮演的角色的哲学冥思。《收获与播种》是对最靠近他内心的事情的探查,他带给此书如他带给数学一样,是一种求索的好奇心,是一种到事情的最底部去寻求答案的方法,其结果是一部厚重而多层次的著作。


《收获与播种》由四部分组成:

主题介绍或前奏四部曲 

第一部分,满足与复兴

第二部分:葬礼,或中国皇帝的袍子(1

第三部分:葬礼,或阴阳的钥匙(2

第三部分:葬礼,或四项操作(3

葬礼,或阴阳的钥匙,格罗滕迪克解释为《收获与播种》中最个人也最深刻的部分,包含了对于很分散的主题,例如创造性、直觉、暴力、冲突等的大范围思考,他使用阴阳变易来阐述了他的学术思想和学术方法,记录在一个特别引人注目的章节18.2.6.4,标题为漫升的海洋

我把18.2节的目录和18.2.6.4 (d) “漫升的海洋翻译出来。


一,18.2节的目录


主题介绍或前奏四部曲

第一部分:满足与复兴

第二部分:葬礼,或中国皇帝的袍子(1

第三部分:葬礼,或阴阳的钥匙(2

第四部分:葬礼,或四项业务(3


18.XII 葬礼仪式

18.1. 悼词.

18.2. 阴阳的钥匙

18.2.1 (1) 肌肉和肠道(阳埋阴藏(1))。

18.2.2 (2) 一个生命的故事:三个动作的循环

18.2.2.1 (a) 天真无邪(阴阳结合) 

18.2.2.2 (b)《超凡》(阳埋阴)(2) 

18.2.2.3 (c) 重逢(阴的觉醒(1))。

18.2.2.4d)接受(阴的觉醒(2))。


18.2.3. 二元对 

18.2.3.1 (a) 事物的动态(阴阳和谐) 

18.2.3.2 (b) 敌对的配偶(阳埋阴(3)).

18.2.3.3 (c) 半数和全部 - 或裂缝 

18.2.3.4 (d) 弧形知识和条件.


18.2.4. 我们的母亲死亡 

18.2.4.1 (a) 行动 

18.2.4.2. 被爱的人 

18.2.4.3. 信使 


18.2.5. 拒绝和接受 

18.2.5.1 (a) 失乐园 

18.2.5.2 (b) 循环 

18.2.5.3 (c) 对偶-- "邪恶 "的谜团 

18.2.5.4 阳盛阴衰--或大师的角色


18.2.6. 阴阳数学

18.2.6.1 (a) "大男子主义 "的艺术 

18.2.6.2 (b) 美丽的未知数

18.2.6.3 (c) 愿望和严谨性 

18.2.6.4 (d) 海水上涨

18.2.6.5.(e) 九个月的时间和海水上涨 

18.2.6.6.(f) 阴的葬礼(阳葬阴(4))

18.2.6.7 (g) 超级妈妈或超级爸爸


18.2.7. 阴阳的颠倒

18.2.7.1 (a) 逆转 (1) - 或激烈的妻子

18.2.7.2. 回眸(1)或图片的三个部分 

18.2.7.3. 后知后觉(2)或结语 

18.2.7.4 (d) 父母 - 或冲突的核心 

18.2.7.5 (e) 敌人的父亲 (3) --或阳埋阳

18.2.7.6 (f) 箭头和波浪 

18.2.7.7 (g) 冲突之谜 

18.2.7.8 (h) 逆转(2)--或暧昧的反叛 


18.2.8. 主人和仆人

18.2.8.1 (a) 天鹅绒爪子--或笑脸

18.2.8.2 (b) 兄弟和配偶--或双重签名 

18.2.8.3 (c) 阴仆人,和新主人 

18.2.8.4 (d) 阴仆人(2),和慷慨 


18.2.9. 天鹅绒中的爪子

18.2.9.1 (a) 天鹅绒爪子--或笑脸

18.2.9.2 (b) 逆转 (4) - 或婚姻马戏团

18.2.9.3 (c) 巧取豪夺的暴力--或交接

18.2.9.4 (d) 奴隶和木偶 - 或阀门


18.2.10. 暴力--或游戏和鞭策

18.2.10.1(a)正义的暴力

18.2.10.2.(b) 机械和自由

18.2.10.3.(c) 贪婪--或不良交易 

18.2.10.4.(d) 既知道也害怕知道 

18.2.10.5. (e) 秘密神经 

18.2.10.6.(f) 激情和饥饿 - 或升级

18.2.10.7.(g) 爸爸蛋糕

18.2.10.8 神经中的神经--或侏儒和巨人


18.2.11. 另一个自我

18.2.11.1(a) 搁置的怨恨--或归还的东西 (2) 

18.2.11.2(b) 无罪和冲突--或绊脚石

18.2.11.3(c) 天命的情况--或神化的情况

18.2.11.4.(d) 不承认 (1) - 或召回 

18.2.11.5.(f) 阶段性 - "第二自然"

18.2.11.6.(g) 另一个自己--或识别和冲突 

18.2.11.7.(h) 敌人的兄弟--或交接(2)


18.2.12. 冲突和发现--或邪恶之谜

18.2.12.1(a) 没有仇恨,没有怜悯 

18.2.12.2.(b) 了解和更新 

18.2.12.3.(c) 无因暴力的原因 

18.2.12.4.(d) Nichidatsu Fujii Guruji - 或太阳和其行星 

18.2.12.5.(e) 祈祷和冲突 

18.2.12.6.(f) 信仰和知识

18.2.12.7.(g) 最热的铁 - 或转折点 

18.2.12.8.(h) 无尽的链条--或交接(3)

二,18.2.6.4 (d) “漫升的海洋译文


18.2.6.4 (d) 漫升的海洋


122118日)我对数学中的阴阳的思考已经过去三天了,我的印象是,仍在继续,而我则部分地沉浸在其他方面。通过预演,我仍然没有走到这一步,我一开始就想说的是:在我自己的数学工作中,占主导地位的是阴性的、 “雌性的音符! 


几周前我意识到这一点,在目前关于阴阳的思考的空白处,并与这个 "由《葬礼悼词》三部分引起的想法的联想 "有关,这是一长篇离题的起点,(见笔记《阳埋阴(1)的开头)。说实话,这种想法的联想(我将回到这里)或多或少是基于我对数学的态度是强烈的阳性主导的直觉。这种直觉是很自然的,因为正是我的超阳性选择促使我长期投身于数学。然而,这种直觉,或者更准确地说,这种想法是错误的--我只需要稍微研究一下,就会意识到事实恰恰相反。


一个惊喜就是:一个惊喜! 我没有在我的笔记中当场提到它,以免在我试图界定我对阴阳的看法和对哲学的看法时打断了思考的线索。但是我们最终还是来了!


这种对我的数学方法的性质的误解,一定是在五六年前我开始注意事物的阴阳方面时,就已经悄悄地进入了我的身体,没有经过审视,理所当然。而作为一个问题,从我开始关注事物的阴阳方面已经五六年了。这一定是我的阳刚之气、男人形象的残留物出于惯性,这种残留物一直在那里徘徊,因为我一直懒得扫除它。


也许读者会觉得我在引导他,因为就在三天前,我还详细解释了数学工作是最superyang的活动在与数学的关系中,它是女人,和数学家作为一个有进取心的情人现在我突然提出我的工作或我的方法在卑微的自己身上是阴还是阳的问题,并得出结论(作为世界上最自然的事情),它是阴的,谁会相信呢!?如果有明显的混乱,那是来自于对这一普遍事实的不理解:在一切事物中,即使是世界上最阴或最阳的事物,通过两种原始力量的结合,阴阳的动力在发挥作用。因此,火是所有事物中最阳的,也是阳的象征,在它的某些方面是阴的(它是 "阳中之阴");反之,水是阴的象征,在它的某些方面和功能是阳的(它是 « 阴中之阳 »)。在这里没有必要发展这两个特别有启发性的例子--当然,对这些观察(也许会显得很强硬或很有分寸)感兴趣的读者,只需要自己遵循附着在火和水上的观念的关联,以便在这两个案例中为自己发现阳中有阴、阴中有阳的现实。如果他是一个数学家,或者如果他只熟悉智力工作(即使他不是一个数学家,甚至不是一个科学家),他将不难看出任何种类的智力工作存在阴阳互补的方法,无论它与其他不那么零散的活动类型相比是多么


一个可能的出发点是再次讨论三天前反思开始时指出的十五对左右的阴阳对,当时我注意到,对于每一对阴阳对来说,都是在智力工作中发生的阳性术语占主导地位(在数学工作中尤其如此),当我们把这种工作与其他类型的活动,如做爱、唱歌、绘画(一幅画,或一面墙)、园艺等相比较时。这并不妨碍我们停留在一个特定的活动中,例如做数学,让我们说(万物皆阳,这是必然的),区分出阴或阳特征的平衡(或有时不平衡),从一个数学家到另一个数学家,有时,在同一个数学家中,从一个工作到另一个工作,都是不同的。


例如,在一些作品中,强调的是所发展的理论的逻辑结构,而在另一些作品中,强调的是直觉方面,当这些不可或缺的方面之一被严重忽视,而另一个方面得到好处时,就会出现不平衡,在读者或听众中表现为一种熟悉的不安感(有时在作者中也是),当这两方面都被严重忽视时,人们就会把书扔进垃圾桶,或者砰地一声离开房间!当这两方面都强烈存在时,无论是明确的还是字里行间的,这表现为一种非常熟悉的和谐、美丽、平衡、满意的感觉。这一点上,无论所遵循的方法以何种基调为主导,无论这种基调是朝着逻辑 “直觉(或结构实质)的方向,情况都是如此。没有必要发展这个有启发性的例子,例如描述问题所在(即确定前面提到的不自在),当两个方面中的一个或另一个被忽视时;读者从自己的经验中知道这一点,对于三天前考虑的大多数阴阳对来说,也不能不出现类似的观察。也许甚至对所有的人来说都是如此,即使有些人比直觉-逻辑对更微妙,无疑需要更彻底的检查才能完全领会。


我现在不得不尝试把这个事实说得更清楚一些,或者说把它说出来”—在我做数学的方式中,是我的阴性特征,而不是我的阳性特征,在引导着我。如果这里的想法是通过尽可能多的方式来检验这一印象,那么自然的想法(昨天我确实想到了)是在我已知的阴阳对中,回顾那些可能代表(除其他外)智力工作的一个方面或理解模式的阴阳对(我想一定有大约50个),并对每一个阴阳对中的哪一个配偶在我身上占主导地位。我预计,在所有的案件中,在检查中会发现两者之一是占主导地位的。


因此,在直觉和逻辑对中,我第一眼就注意到,这两个方面都强烈地存在于我的数学工作中。存在于我的数学工作中。因此,这是一个平衡的标志,和谐的标志,在其他指向同一方向的标志中,对阴阳对来说应该是这样的,对我来说(我指的是在我的工作中),是和谐的。(在我的工作中,就是这样),这两者确实是不可分割的一个理论的逻辑结构是一步步发展的,而且是与理论的深化相结合的,逐步进行,并结合对其所涉及的事物的理解加深,即同时,随着对它越来越精细和完整的直觉的发展。也许在我发表的作品中,根据数学家的职业规范,最重要的是阳性方面,结构逻辑方法方面,这是最明显的,对读者来说是最明显的。然而,我很清楚,引领和主导我的作品的,是它的灵魂和存在的理由,是在工作过程中形成的心灵图像,以掌握数学事物的真实性。


当然,我从来没有吝啬于通过数学语言来尽可能细致地定义这些图像和所引起的领悟,正是在这种不断努力制定非形式的、明确但仍然模糊的东西的过程中,可以发现数学工作(也许是所有创造性的智力工作)的特殊动力在或多或少无形的图像和赋予其形式的语言之间的持续变易中,产生了新的、或多或少模糊的图像,这些图像加深了先前的图像,并且也要求制定一种形式来赋予它们。此外,这也是通过语言尽可能精确、完美地定义起初作为一种无法定义的、没有形状的感觉,作为一种非形式的感觉,作为一种淹没在迷雾中的图像的永久性工作……正是这项工作,从我的童年到现在,都是数学发现工作中最吸引我的地方。但是,如果这里的努力似乎总是在语言方面,因此在表述、结构、逻辑方面,这构成了数学方法的关键成分。如果(由于环境的力量)在那里首先发现了一个数学文本的可见方面,它应该恢复一个数学作品(或至少是它的成果),所有这些并不妨碍(至少对我来说)在这个方面发现对数学事物的理解的灵魂,也不妨碍在数学作品中工作的活的力量或动力。我相信,在我的作品中,很少会有这种关系被颠倒过来的作品,在那里我发展了一种形式主义,让自己仅仅或首先被其内部逻辑、一致性的要求或形式主义本身的其他方面所引导,而不是被一种内容、被一种物质所引导,表现为图像、 “几何性质的直觉。无论如何,在我的一生中,当我无法根据我对数学事物的经验赋予这个文本以意义的时候,也就是说,当这个文本不能在我心中唤起能够赋予它生命的精神图像和直觉的时候,就像由肌肉和器官组成的活生生的肉体赋予身体以生命一样,没有它就会沦为一个骨架。这种能力使我有别于大多数数学家同事,而且(正如我已经提到的)它常常使我难以融入布尔巴基小组的集体工作,特别是在联合阅读期间,我常常被抛在后面,连续几个小时,而其他人都安心地跟着。


我刚刚跟踪了一些关于我的数学工作的想法,这些想法与直觉-逻辑对有关,也与在这一对之后出现的一些相邻的对有关;无形-有形,未定义-已定义,非正式-已制定,模糊-精确,灵感-方法,视觉-一致性…… 把所有可能的和可以想象的与智力工作有关的逐一检查一遍(就像我曾想过的那样),并对每一对以何种方式和在何种程度上出现在我的数学工作中,以及这两者中是否有一个似乎定下了基调,以及哪一个,肯定会有启发。除了对我的数学工作的特殊性质有更细腻的理解外,这样的部分工作肯定会加深我对一般数学工作性质的理解,也会加深我对这样审查的每一对的理解。但这样的系统工作显然会让我走得太远,而且会超出目前思考的合理范围。对我来说,似乎更自然的是试图在这里找到,并在可能的情况下传递思想和图像的联想,这些联想使我相信(不必再进一步),在我的数学工作中,确实是我的阴性特征在悄悄地定下基调,并以这种方式为它们在我生活的其他领域不得不经历的压抑找到一种未预见到的报复(在人们最意想不到的地方!)。


以证明一个仍然是假设性的定理的任务为例(对某些人来说,数学工作似乎已经沦到这个地步)。我看到对此有两种极端的做法。一个是锤子和凿子,当所提出的问题被视为一个大的、硬的、光滑的坚果,必须达到其内部,即由外壳保护的滋养的肉。原理很简单:你把凿子的切削刃顶在壳上,用力敲打。如果有必要,你在几个不同的地方重复这个过程,直到外壳破裂--你就满意了。当外壳有突起时,你可以拿下它时,这种方法尤其诱人。在某些情况下,这样的位子是显而易见的,在其他情况下,有必要在各个方向上仔细转动它,仔细展望,然后找到一个攻击点。最困难的情况是当外壳是完全圆形和坚硬时。无论你怎么打,凿子的边缘都会打滑,勉强划伤表面--你最终会对这项工作感到厌倦。不过,有时你确实能做到,靠的是肌肉和耐力。


我可以通过保留需要打开的坚果的图像来说明第二种方法。之前想到的第一个比喻是,你把坚果浸泡在润肤液中,就用水吧,为什么不呢,时不时地揉一揉,让它更好地渗透,至于其他的,就让时间来解决吧。经过几周和几个月的时间,外壳变得更加柔软--当时机成熟时,用手轻轻一碰,外壳就会像成熟的牛油果一样打开! 或者可以让坚果在阳光和雨水中成熟,也许还可以在冬天的霜冻中成熟。当时机成熟时,它就像从肉里钻出来的娇嫩嫩的嫩芽,刺破了外壳,仿佛在和自己玩耍--或者说得更好,外壳自己打开了,让它通过。


几周前出现在我面前的画面又不一样了,我必须了解的未知事物在我看来是一些广阔的土地或紧凑的泥灰岩,不愿意被穿透。人们可以用镐头或撬棍,甚至千斤顶去做:这是第一种方法,即凿子(有或没有锤子)。另一个是海上的方法。海水无知无觉地前进,没有任何声音,似乎没有任何东西断裂,没有任何东西移动,水面很远,你几乎听不到它。然而,它最终围绕着抗性物质,逐渐成为一个半岛,然后是一个岛屿,然后是一个小岛,最后反过来被淹没,仿佛它最终溶入了延伸到眼睛所能看到的海洋。


熟悉我的一些作品的读者不难看出这两种方法中哪一种是我的”—我已经在《收获与播种》的第一部分有机会在某种不同的背景下就这个问题解释了自己。它是大海的接近,通过淹没、吸收、溶解当一个人不是很专心的时候,任何时候似乎都不会发生什么:每个时刻的每件事情都是如此明显,最重要的是,如此自然,以至于人们几乎不敢用白纸黑字写下来,因为害怕看起来是在组合,而不是像其他人一样敲打着凿子......。然而,这是我从小就本能地练习的方法,从来没有真正需要学习过。


基本上,这也是布尔巴基的方法,我与布尔巴基小组的会面在这方面是天赐良机,它确认并鼓励我采用这种自发的风格,否则我可能会发现自己或多或少是孤独的。诚然,这种情况(在我的同类中独占鳌头)早已为我所熟悉,并没有让我如此烦恼。至于我对数学工作的本能方法是否会有效,即首先(根据现行的标准,特别是判断一个初级数学家的标准)我是否能够解决尚未有人能够回答的开放性问题,我不可能事先知道,我也没有过多地担心这个问题。我的自然倾向是提出自己的问题,而不是试图解决别人提出的问题。事实上,正是通过发现新的问题和新的概念,或者通过新的观点,甚至是新的世界,我的数学工作被证明是富有成效的,甚至比我能够为已经提出的问题带来的解决方案更有成效。这种发现正确问题而不是答案的非常强烈的冲动,以及发现正确的概念和陈述比发现证明强烈得多的冲动,也是我对待数学的方法中非常强烈的的特征。这也是为什么当我看到我能够为数学做出的最好的贡献,被一些曾经是我的学生的人随意或不屑地对待,也就是说被那些最早的受益者对待时,我无疑是特别敏感。


无论如何,直到现在我才意识到,当我被别人提出的问题所吸引、所启发时,我对数学的自然态度也会起作用,简而言之,就是一拍即合,问题成为我的。如果我试图或多或少地列出一份此类案件的清单,我怀疑它将是相当的长。据猜测,在我看来,有四种这样的情况在其范围内是突出的。在所有这四种情况下,假设的定理最后都被证明了,大部分是通过涨海的方法,被一些或多或少的庞大理论所淹没和溶解,远远超出了它最初想要建立的结果。我还注意到,我在这些情况下(或也在其他情况下)形成的想法、概念、公式和方法,早已进入众所周知的数学领域, “每个人都知道并尽情使用,不用担心它们的来源。


原文:


一,18.2节的目录


Présentation des Thèmes ou PRELUDE EN QUATRE MOUVEMENTS


  1. Première partie : FATUITE ET RENOUVELLEMENT

II. Deuxième partie : L’ENTERREMENT (I) ou la robe de l’Empereur de Chine

III. Troisième partie : L’ENTERREMENT (II) ou la Clef du Yin et du Yang 


18.2. LA CLEF DU YIN ET DU YANG 

18.2.1. (1) Le muscle et la tripe (yang enterre yin (1)) 

18.2.2. (2) Histoire d’une vie : un cycle en trois mouvements

18.2.2.1. (a) L’innocence (les épousailles du yin et du yang) 

18.2.2.2. (b) Le Superpère (yang enterre yin (2)) 

18.2.2.3. (c) Les retrouvailles (le réveil du yin(1)) 

18.2.2.4. (d) L’acceptation (le réveil du yin (2))


18.2.3. Le couple 

18.2.3.1. (a) La dynamique des choses (l’harmonie yin-yang) 

18.2.3.2. (b) Les époux ennemis (yang enterre yin (3)) .

18.2.3.3. (c) La moitié et le tout - ou la fêlure 

18.2.3.4. (d) Connaissance archétype et conditionnement .


18.2.4. Notre Mère la Mort 

18.2.4.1. (a) L’ Acte 

18.2.4.2. La Bienaimée 

18.2.4.3. Le messager 


18.2.5. Refus et acceptation 

18.2.5.1. (a) Le paradis perdu 

18.2.5.2. (b) Le cycle 

18.2.5.3. (c) Les conjoints - ou l’énigme du "Mal" 

18.2.5.4. Yang joue les yin - ou le rôle du Maître


18.2.6. La mathématique yin et yang

18.2.6.1. (a) Le plus « macho » des arts 

18.2.6.2. (b) La belle inconnue

18.2.6.3. (c) Désir et rigueur 

18.2.6.4. (d) La mer qui monte.

18.2.6.5. (e) Les neufs mois et la mer qui monte 

18.2.6.6. (f) Les Obsèques du Yin (yang enterre yin (4)) 

18.2.6.7. (g) Supermaman ou Superpapa


18.2.7. Le renversement du yin et du yang

18.2.7.1. (a) Le renversement (1) - ou l’épouse véhémente

18.2.7.2. Rétrospective (1) ou les trois volets d’un tableau 

18.2.7.3. Rétrospective (2) ou le noeud 

18.2.7.4. (d) Les parents - ou le coeur du conflit 

18.2.7.5. (e) Le Père ennemi (3) - ou yang enterre yang

18.2.7.6. (f) La flèche et la vague 

18.2.7.7. (g) Le mystère du conflit 

18.2.7.8. (h) Le renversement (2) - ou la révolte ambigüe 


18.2.8. Maîtres et Serviteur

18.2.8.1. (a) Patte de velours - ou les sourires

18.2.8.2. (b) Frères et époux - ou la double signature 

18.2.8.3. (c) Yin le Serviteur, et les nouveaux maîtres 

18.2.8.4. (d) Yin le Serviteur (2), et la générosité 


18.2.9. La griffe dans le velours

18.2.9.1. (a) Patte de velours - ou les sourires

18.2.9.2. (b) Le renversement (4) - ou le cirque conjugal

18.2.9.3. (c) La violence ingénue - ou la passation

18.2.9.4. (d) L’esclave et le pantin - ou les vannes


18.2.10. La violence - ou les jeux et l’aiguillon

18.2.10.1.(a) La violence du juste

18.2.10.2.(b) La mécanique et la liberté

18.2.10.3.(c) L’avidité - ou la mauvaise affaire 

18.2.10.4.(d) Les deux connaissances ou la peur de connaître 

18.2.10.5.(e) Le nerf secret 

18.2.10.6.(f) Passion et fringale - ou l’escalade

18.2.10.7.(g) Papa-gateau

18.2.10.8.Le nerf dans le nerf - ou le nain et le géant


18.2.11. L’autre Soi-même

18.2.11.1.(a) Rancune en sursis - ou le retour des choses (2) 

18.2.11.2.(b) Innocence et conflit - ou la pierre d’achoppement .

18.2.11.3.(c) La circonstance providentielle - ou l’ Apothéose

18.2.11.4.(d) Le désaveu (1) - ou le rappel 

18.2.11.5.(f) La mise en scène - ou "la seconde nature" 

18.2.11.6.(g)Un autre soi-même - ou identification et conflit 

18.2.11.7.(h) Le frère ennemi - ou la passation (2)


18.2.12. Conflit et découverte - ou l’énigme du Mal

18.2.12.1.(a) Sans haine et sans merci 

18.2.12.2.(b) Compréhension et renouvellement 

18.2.12.3.(c) La cause de la violence sans cause 

18.2.12.4.(d) Nichidatsu Fujii Guruji - ou le soleil et ses planètes 

18.2.12.5.(e) La prière et le conflit 

18.2.12.6.(f) Conviction et connaissance

18.2.12.7.(g) Le fer le plus brûlant - ou le tournant 

18.2.12.8.(h) La chaîne sans fin - ou la passation (3)


IV. Troisième partie : L’ENTERREMENT (III) ou les Quatre Opérations


二,18.2.6.4 (d) “漫升的海洋原文


18.2.6.4. (d) La mer qui monte. . .


Note 122 (8 novembre) Cela fait trois jours que ma réflexion a porté, en principe, "sur le yin et le yang

en mathématique", et que j’ai l’impression qu’elle n’en finit pas de démarrer, alors que je suis partiellement

absorbé par d’autres occupations et taches. A force de préliminaires, je n’en suis toujours pas venu au fait auquel je voulais en venir dès le début : c’est que dans mon propre travail mathématique, c’est la note yin, "féminine", qui domine !


Je m’en suis aperçu il y a quelques semaines, en marge de la présente réflexion sur le yin et le yang, et en relation avec cette "association d’idées suscitée par l’ Eloge Funèbre en trois volets", qui a été le point de départ de cette longue digresssion, (Voir le début de la note "Yang enterre yin (1) - ou le muscle et la tripe".) Pour tout dire, cette association d’idées (sur laquelle j’aurai l’occasion de revenir) reposait plus ou moins sur l’intuition que mon approche de la mathématique était à forte dominante yang. Cette intuition était assez naturelle, puisque c’étaient mes options superyang qui avaient motivé mon investissement de longue haleine dans la mathématique. Ça n’empêche que cette intuition, ou plus exactement cette idée, était fausse - il a suffique je prenne le loisir de l’examiner tant soit peu pour me rendre compte que c’est le contraire qui est vrai.


Pour une surprise, c’était : une surprise ! Je n’en ai pas parlé "à chaud" dans mes notes, pour ne pas couper alors le fil de la réflexion, au moment où j’ai essayé de cerner la façon dont je percevais le yin et le yang et la philosophie qui s’en dégageait pour moi. Mais nous y voilà enfin !


Cette idée fausse sur la nature de mon approche de la mathématique doit s’être glissée en moi, sans examen et comme chose allant de soi, dès l’époque où j’ai commencé à faire attention à l’aspect yin-yang des choses, il y a cinq ou six ans. Ça doit être un résidu de mon image de marque yang, virile - résidu qui a continué à traîner là, par pure inertie, faute à moi d’avoir pris la peine de passer un coup de balai dans ce coin-là. . .


Peut-être le lecteur aura-t-il l’impression que je suis en train de le mener en bateau, vu que pas plus tard qu’il y a trois jours, j’ai expliqué en long et en large que le travail mathématique était la plus surperyang des activités superyang - que dans la relation à la mathématique celle-ci faisait figure de "la femme", et le mathématicien d’amant entreprenant - et voilà que tout d’un coup je soulève la question si dans le cas de ma modeste personne, mon travail ou mon "approche" est yin ou yang, pour conclure (comme chose la plus naturelle du monde) que c’est yin, qui l’eût crû ! S’il y a là une apparente confusion, cela vient d’une incompréhension de ce fait universel : que dans toute chose, fut-ce la plus yin ou la plus yang du monde, se joue la dynamique du yin et du yang, par les épousailles des deux forces originelles. Ainsi le feu, la plus yang de toutes les choses et le symbole même du yang, est yin dans certains de ses aspects (c’est le « yin dans le yang") ; et inversement l’eau, qui est le symbole même du yin, est yang dans certains de ses aspects et fonctions (c’est le "yang dans le yin"). Inutile de développer ici ces deux exemples, particulièrement instructifs - sûrement, le lecteur intrigué par ces constatations (qui lui paraîtront peut-être péremptoires ou sibyllines) n’aura qu’à suivre par lui-même les associations d’idées qui se rattachent au feu, et à l’eau, pour découvrir par lui-même dans ces deux cas la réalité du yin dans le yang, et du yang dans le yin. Et s’il est mathématicien, ou s’il est seulement familier du travail intellectuel (alors même qu’il ne serait pas mathématicien, ni même un scientifique), il n’aura aucun mal à discerner l’existence de modes d’approche complémentaires yin et yang vis à vis de toute espèce de travail intellectuel, si "yang" soit-il en comparaison avec d’autres types d’activité moins parcellaires.


Un point de départ possible serait de reprendre la quinzaine de couples yin-yang signalés au début de la réflexion d’il y a trois jours100(*), quand j’ai constaté que pour chacun de ces couples, c’était la prédominance du terme yang qui avait lieu dans le travail intellectuel (et ceci tout particulièrement dans le cas du travail mathématique), quand on compare un tel travail à d’autres types d’activité, comme faire l’amour, chanter, peindre (un tableau, ou un mur qu’à cela ne tienne), faire son jardin, etc. Cela n’empêche que si on reste à l’intérieur d’une activité déterminée comme celle de faire des maths disons (tout ce qu’il y a de yang, c’est une chose entendue), on peut distinguer un équilibre (ou parfois, un déséquilibre) de traits soit yin soit yang, variant d’un mathématicien à l’autre et parfois aussi, chez le même mathématicien, d’un travail à l’autre.


Par exemple, dans certains travaux c’est la structure logique de la théorie développée qui est mise en avant, dans d’autres ce seront les aspects intuitifs, il y a un déséquilibre, se manifestant chez le lecteur ou l’auditeur par un sentiment de malaise bien familier (et parfois chez l’auteur aussi), quand l’un de ses aspects indispensables est grossièrement négligé, au "profit" de l’autre. (Quand les deux sont grossièrement négligés, on jette le livre à la poubelle, ou on quitte la salle en claquant la porte !) Quand chacun des deux aspects est fortement présent, que ce soit explicitement ou entre les lignes, cela se manifeste par un sentiment bien familier également d’harmonie, de beauté, d’équilibre, de satisfaction. Il en est ainsi, indépendamment du

"ton de base" qui domine l’approche suivie, que ce ton soit dans la direction "logique", ou "intuition" (ou aussi "structure") ou "substance"). Inutile sans doute de développer cet exemple instructif, pour décrire par exemple où le bat blesse (c’est à dire, cerner le "malaise" rappelé tantôt), quand l’un ou l’autre des deux aspects se trouve négligé ; le lecteur le sait bien déjà par sa propre expérience ! Des constatations dans le même sens ne pourront manquer de se dégager pour la plupart des couples yin-yang envisagés il y a trois jours. Peut-être même pour tous, même si certains sont plus délicats et demanderont sans doute un examen plus approfondi pour être pleinement appréhendés, que le couple intuition-logique.


Il me faudait maintenant essayer d’expliciter tant soit peu ce fait, ou plutôt "le faire passer" - que dans ma façon de faire des maths, ce sont mes traits yin, "féminins", plus que mes traits "masculins", qui mènent la danse. S’il s’agissait ici d’aller jusqu’au bout de cette impression, en la testant sous un maximum d’aspects possible, l’idée naturelle (qui m’avait bel et bien effleurée hier) serait de passer en revue, parmi les couples yin-yang qui me sont connus, ceux qui peuvent représenter (entre autres) un aspect ou mode d’appréhension d’un travail intellectuel (il doit bien y en avoir une cinquantaine je suppose), et voir pour chacun d’eux lequel des deux "conjoints" du couple prédomine chez moi. Je prévois que dans tous les cas, il y aura bien un des deux qui, à l’examen, se révélera prédominant.


Ainsi, dans le couple intuition-logique, je constate à première vue que les deux aspects sont fortement présents dans mon travail mathématique. C’est là donc le signe d’un équilibre, d’une harmonie, parmi d’autres signes qui vont dans le même sens. Comme il se doit pour un couple yin-yang, pour moi (dans mon travail j’entends), les deux conjoints sont vraiment inséparables - la structure logique d’une théorie se développe pas à pas et conjointement à l’approfondissement d’une compréhension des choses dont elle traite, c’est à dire aussi, conjointement au développement d’une intuition de plus en plus fine et complète de celle-ci. Peut-être que dans mes oeuvres publiées, conformément aux canons du métier de mathématicien, c’est l’aspect yang, l’aspect "structure" ou "logique" ou "méthode", qui est le plus apparent, le plus évident pour le lecteur. Pourtant, je sais bien que ce qui mène et domine dans mon travail, ce qui en est l’ame et la raison d’être, ce sont les images mentales qui se forment au cours du travail pour appréhender la réalité des choses mathématiques.


Certes, je n’ai jamais lésiné pour arriver à cerner de façon aussi méticuleuse que possible, au moyen du lan- gage mathématique, ces images et l’appréhension qu’elles donnent. C’est dans cet effort continuel de formuler l’informulé, de préciser ce qui encore est vague, que se trouve peut-être la dynamique particulière au travail mathématique (et peut-être aussi, à tout travail intellectuel créateur) - dans une dialectique continuelle entre l’image plus ou moins informe, et le langage qui lui donne une forme et chemin faisant suscite de nouvelles images plus ou moins floues qui approfondissent la précédente, et qui elles aussi appellent une formulation pour leur donner forme à leur tour. . . C’est d’ailleurs ce perpétuel travail de cerner par le langage, de façon aussi précise, aussi parfaite que possible, ce qui se présente d’abord comme un "pressenti" indéfinissable et informe, comme un "sentiment" informulé, comme une image noyée de brumes. . . c’est ce travail-là qui depuis mon enfance et aujourd’hui encore est ce qui me fascine le plus dans le travail de découverte mathématique. Mais si "l’effort" ici semble toujours se porter du côté "langage", donc du côté formulation, structure, logique, qui forment les ingrédients clef de la méthode mathématique ; et si (par la force des choses) c’est là surtout que se trouve aussi l’aspect visible d’un texte mathématique censé restituer un travail mathématique (ou du moins ses fruits), tout cela n’empêche pas que (chez moi du moins) ce n’est pas dans cet aspect-là que se trouve l’ame d’une compréhension des choses mathématiques, ni la force vive ou la motivation en oeuvre dans le travail mathématique. Je crois que parmi mes travaux, très rares doivent être ceux où cette relation aurait été renversée, où j’aurais développé un "formalisme" en me laissant guider uniquement, ou avant tout, par sa seule logique interne, par des desiderata de cohérence, ou d’autres aspects du formalisme lui-même, plutôt que par un contenu, par une substance, se manifestant par des images, des intuitions de nature "géométrique". En tous cas, toute ma vie j’ai été incapable de lire un texte mathématique, si anodin ou simpliste soit-il, lorsque je n’arrive pas à donner à ce texte un "sens" en termes de mon expérience des choses mathématiques, c’est-à-dire lorsque ce texte ne suscite pas en moi des images mentales, des intuitions qui lui donneraient la vie, comme une chair vivante de muscles et d’organes donne vie à un corps, qui sans elle se réduirait à un squelette. Cette incapacité me distingue d’ailleurs de la plupart de mes collègues mathématiciens, et (comme j’ai eu l’occasion de l’évoquer) c’est elle qui m’a souvent rendu difficile de m’insérer dans le travail collectif au sein du groupe Bourbaki, pendant les lectures en commun notamment, où il m’arrivait souvent d’être largué à longueur d’heures alors que tous les autres suivaient à l’aise.


Je viens de suivre quelques associations d’idées sur mon travail mathématique, liées au couple "intuition- logique", et à quelques couples voisins qui se sont introduits d’eux même dans la foulée de celui-là ; l’informe - le formé, l’indéfini - le défini, l’informulé - le formulé, le vague - le précis, inspiration - méthode, vision - cohérence... Il serait sûrement instructif de passer en revue un à un (comme j’y avais songé) tous les "couples" possibles et imaginables en relation à un travail intellectuel, et sonder pour chacun de quelle façon et dans quelle mesure l’un et l’autre des deux conjoints est présent dans mon travail mathématique, et si oui ou non l’un des deux paraît "donner le ton", et lequel. Au delà même d’une appréhension plus délicate de la nature particulière de mon travail mathématique, un tel "travail sur pièces" ne manquera pas, sûrement, de me faire approfondir également ma compréhension de la nature du travail mathématique en général, et également mon appréhension de chacun des couples passés ainsi en revue. Mais un tel travail systématique m’amènerait trop loin visiblement, et sortirait des limites raisonnables de la présente réflexion. Il me semble plus naturel d’essayer de retrouver ici, et de "faire passer" si faire se peut, les associations d’idées et images qui m’ont convaincu (sans avoir à aller plus loin) que dans mon travail mathématique, ce sont bien les traits "féminins" de mon être qui ont tendance subrepticement à donner le ton, et de trouver ainsi une sorte de "revanche" imprévue (là où on l’aurait attendue le moins !) pour la répression qu’ils avaient à subir dans d’autres sphères de ma vie.


Prenons par exemple la tache de démontrer un théorème qui reste hypothétique (à quoi, pour certains, semblerait se réduire le travail mathématique). Je vois deux approches extrêmes pour s’y prendre. L’une est celle du marteau et du burin, quand le problème posé est vu comme une grosse noix, dure et lisse, dont il s’agit d’atteindre l’intérieur, la chair nourricière protégée par la coque. Le principe est simple : on pose le tranchant du burin contre la coque, et on tape fort. Au besoin, on recommence en plusieurs endroits différents, jusqu’à ce que la coque se casse - et on est content. Cette approche est surtout tentante quand la coque présente des aspérités ou protubérances, par où "la prendre". Dans certains cas, de tels "bouts" par où prendre la noix sautent aux yeux, dans d’autres cas, il faut la retourner attentivement dans tous les sens, la prospecter avec soin, avant de trouver un point d’attaque. Le cas le plus difficile est celui où la coque est d’une rotondité et d’une dureté parfaite et uniforme. On a beau taper fort, le tranchant du burin patine et égratigne à peine la surface - on finit par se lasser à la tache. Parfois quand même on finit par y arriver, à force de muscle et d’endurance.


Je pourrais illustrer la deuxième approche, en gardant l’image de la noix qu’il s’agit d’ouvrir. La première parabole qui m’est venue à l’esprit tantôt, c’est qu’on plonge la noix dans un liquide émollient, de l’eau simplement pourquoi pas, de temps en temps on frotte pour qu’elle pénètre mieux, pour le reste on laisse faire le temps. La coque s’assouplit au fil des semaines et des mois - quand le temps est mûr, une pression de la main suffit, la coque s’ouvre comme celle d’un avocat mûr à point ! Ou encore, on laisse mûrir la noix sous le soleil et sous la pluie et peut-être aussi sous les gelées de l’hiver. Quand le temps est mûr c’est une pousse délicate sortie de la substantifique chair qui aura percé la coque, comme en se jouant - ou pour mieux dire, la coque se sera ouverte d’elle-même, pour lui laisser passage.


L’image qui m’était venue il y a quelques semaines était différente encore, la chose inconnue qu’il s’agit de connaître m’apparaissait comme quelque étendue de terre ou de marnes compactes, réticente à se laisser pénétrer. On peut s’y mettre avec des pioches ou des barres à mine ou même des marteaux-piqueurs : c’est la première approche, celle du "burin" (avec ou sans marteau). L’autre est celle de la mer. La mer s’avance insensiblement et sans bruit, rien ne semble se casser rien ne bouge l’eau est si loin on l’entend à peine. . . Pourtant elle finit par entourer la substance rétive, celle-ci peu à peu devient une presqu’île, puis une île, puis un îlot, qui finit par être submergé à son tour, comme s’il s’était finalement dissous dans l’océan s’étendant à perte de vue. . .


Le lecteur qui serait tant soit peu familier avec certains de mes travaux n’aura aucune difficulté à reconnaître lequel de ces deux modes d’approche est "le mien" - et j’ai eu occasion déjà dans la première partie de Récoltes et Semailles de m’expliquer à ce sujet, dans un contexte quelque peu différent101(*). C’est "l’approche de la mer", par submersion, absorption, dissolution - celle où, quand on n’est très attentif, rien ne semble se passer à aucun moment : chaque chose à chaque moment est si évidente, et surtout, si naturelle, qu’on se ferait presque scrupule souvent de la noter noir sur blanc, de peur d’avoir l’air de combiner, au lieu de taper sur un burin comme tout le monde. . . C’est pourtant là l’approche que je pratique d’instinct depuis mon jeune age, sans avoir vraiment eu à l’apprendre jamais.


C’était aussi, au fond, l’approche de Bourbaki, et ma rencontre avec le groupe Bourbaki a été à cet égard providentielle, en me confirmant, en m’encourageant dans ce "style" qui était spontanément le mien, et dans lequel autrement je risquais de me trouver plus ou moins seul de mon espèce102(*). Il est vrai que c’était là une situation (être seul de mon espèce) qui m’était depuis longtemps familière, et qui ne me gênait pas tellement. Quand à savoir si mon approche instinctive du travail mathématique allait être "efficace", c’est-à-dire avant tout (suivant les critères en vigueur, et surtout pour juger un mathématicien débutant) si j’allais être capable de résoudre des "questions ouvertes" auxquelles personne n’avait encore su répondre, je ne pouvais le savoir d’avance, et je ne m’en préoccupais pas outre mesure. Ma démarche naturelle me portait plutôt à me poser mes propres questions, plutôt que de vouloir résoudre celles que d’autres s’étaient posées. Et c’est bel et bien par la découverte surtout de questions nouvelles, et celle de notions nouvelles également, ou encore par des points de vue nouveaux voire des "mondes" nouveaux, que mon oeuvre mathématique s’est avérée féconde, plus encore que par les "solutions" que j’ai su apporter à des questions déjà posées. Cette pulsion très forte qui me porte vers la découverte des bonnes questions, plutôt que vers celle des réponses, et vers la découverte des bonnes notions et des bons énoncés, beaucoup plus que vers celle des démonstrations, sont d’ailleurs autant de traits "yin" fortement marqués, dans mon approche de la mathématique103(**). C’est pourquoi aussi, sans doute, je suis particulièrement sensible, quand je vois ce que j’ai su apporter de meilleur en mathématique, traité avec désinvolture ou avec dédain par certains de ceux qui furent mes élèves, c’est-à-dire par ceux-là mêmes qui en ont été les tout premiers bénéficiaires.


Quoi qu’il en soit, c’est à posteriori seulement que j’ai pu me rendre compte que mon approche naturelle de la mathématique "marchait" également quand je me sentais attiré, inspiré par une question que d’autres avaient posée quand, en somme, ça avait "fait tilt" et que la question du même coup était devenue "mienne". Si j’essayais de faire une liste plus ou moins exhaustive de tels cas, je soupçonne que celle-ci serait assez

longue. A vue de nez, il y a quatre telles situations qui me semblent "sortir du tas" par leur portée104(***).


Dans les quatre cas, le théorème hypothétique a fini par être prouvé, pour l’essentiel, par l’approche "de la mer qui monte", submergé et dissous par quelque plus ou moins vaste théorie, allant bien au delà des résultats qu’il était d’abord question d’établir. J’ai d’ailleurs pu constater que les idées, notions, formules, méthodes que j’avais développées dans ces situations (ou dans d’autres également), sont depuis longtemps entrées dans le domaine du "bien connu" mathématique, que "tout le monde" connaît et utilise à gogo, sans se soucier de leur origine105(*).


参考文献:

【1】https://baike.baidu.com/tashuo/browse/content?id=91862aba139cec87950abc74

【2】https://www.quarante-deux.org/archives/klein/prefaces/Romans_1965-1969/Recoltes_et_semailles.pdf




https://wap.sciencenet.cn/blog-2322490-1340200.html

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1 杨正瓴

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