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关于“哥德尔的不完全性定理”的讨论(2)

已有 2052 次阅读 2022-5-4 02:13 |个人分类:解读哥德尔不完全性定理|系统分类:海外观察

关于哥德尔的不完全性定理的讨论 - 2022/4/19 - 20 https://www.pauljorion.com/blog/2022/04/12/unilog-2022-godels-incompleteness-theorem-revisited-par-yu-li/


un lecteur:

阅读Druuh,我有一种感觉,那就是接近于肯定数学语言存在于永恒中,没有历史,无动于衷地等待着被发现。

爱、诗、感觉、美、物理、技术,我们有限的人工制品,我们中的穷人濒临灭绝,却没有触摸到这个圣杯。

Paul Jorion

的确如此。对数学文本的任何讨论都是亵渎神明?或者它们是人类的作品,其起源、贡献者的个性、他们的动机、他们的兴趣都是相关的,值得研究的?

这是一场古老的辩论,前者的支持者坚持认为后者的支持者最好是无知,至少也是异端。后者感到厌烦,最终不理前者了。我并不倾向于将哥德尔视为摩西的第二次显现,也不倾向于将勒内-托姆(René Thom)视为父神的转世,我将他们的作品视为人类的作品阅读,其作者是有缺陷的,我指出他们的弱点,谴责他们的错误。

Druuh

就你(PJ)所说的,我确认存在着巨大的误解,因为我从未这样想过,尽管你确信情况如此。

BasicRabbit

1(提请柳渝特别注意):柏拉图式的哲学家巴迪欧(Badiou),如他自己定义的那样在他的《赞美数学》(Flammarion 2017)的第96页及以后,重新证明了康托尔的定理,即整体大于部分之和,在这方面谈到了一个 "魔术":我发现这个证明与哥德尔对其不完全性定理的 "魔术 "证明有几个共同点。


柳渝:

Druuh,感谢你坦率而尖锐的批评!


你说:--"我想说清楚,这样就不会有误解了,也就可以开始了:你所批评的是不完全性定理本身,或者说是哥德尔的证明?"

我的批评首先是针对哥德尔的证明,可以从非正式方面(证明的思想)和形式方面(证明的思想的形式化)来考察。当然,这两个方面是有内在联系的,但为了方便我们的讨论,让我们暂时集中讨论他的证明思想。

我的分析是,PM的不完全性证明与一般经典的定理证明(如毕达哥拉斯定理)有着根本的不同:PM不完全性的证明是一个 "存在性 "的证明,它需要构造出一个存在于PM中的 "不可判定的命题",而勾股定理的证明是一个 "普遍性 « 的证明,给定平面内的一个直角三角形,它证明了其两条矩形边的长度的平方之和等于斜边的长度的平方

换句话说,要证明PM的不完全性,就必须提供一个存在于PM中的不可判定命题的实例,但哥德尔所提供的是一个类似于说谎者悖论的Q命题:"说自己是不可判定的"

这就是为什么我问:类似于说谎者悖论的悖论命题QPM中的不可判定命题吗? 

我的困惑实际上也由罗素在写给莱昂-亨金的信中表达了: »我当然意识到哥德尔的工作具有根本的重要性,但我对它感到困惑。[如果一组给定的公理导致了矛盾,那么很明显,至少有一个公理必须是假的。

因此,根据哥德尔的证明,PAPeano Arithmetics)中至少有一个悖论,换句话说,至少有一个公理是错误的。那么,这么多年过去了,人们发现了哪条公理是错误的?




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