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【点群】和【空间群】:解读国际空间群表的科学价值

已有 23271 次阅读 2013-10-29 09:42 |个人分类:晶体学和空间群|系统分类:科研笔记| 国际, 价值, 空间

【点群】和【空间群】:解读国际空间群表的科学价值

受吕喆老师(吕喆的博客)鼓励,今天我讲点群和空间群。

在晶体中,原子坐标的点群属性和空间群属性,是完全不同的。

余瑞璜先生的电子理论,需要空间群的帮忙。中科院应化所的张思远先生,他搞了个“晶体分解”公式,也需要空间群。我解剖过他的“晶体分解”,很妙的,我喜欢^_^

总而言之,我原来喜欢点群,后来又喜欢上了空间群。为此,我才以自己的方式把230空间群推导了一遍,大有收获。正所谓:书到用时方很少啊!

   好了,今天咱们只谈点群。^_^

为了便于理解,我用众所周知的例子,即以AlCuAg等面心立方结构晶体为例子。

需要强调的是,别看例子简单,真正实现和点群和空间群的关联,还是需要下点功夫。实际上,hcp还算不上是麻烦的,Rhom结构才麻烦呢!Rhomhcp又常常交叉在一起。

要想对点群和空间群有点真感觉,最好是从简单熟悉的晶体开始。

 

大家都知道,AlCuAg等是面心立方结构,属于225号空间群。Al的晶胞共涉及到14个原子:8个在角上,6个在面心。当然了,属于这个晶胞的只有4个原子(1/8×8+1/2×6)。

从上面的图中看到,225号空间群也叫属于Oh点群的第五个空间群。Oh点群共有11个空间群(No. 221No.230)。

Oh点群有48个操作元素(e8C36C26C43C2i6S48S68S63σh6σd),数一数加起来共有48个,是个48阶点群。每一个操作元素,可以用一个矩阵来表示。由此可见,点群是地地道道的严格定量理论,空间群也是地地道道的严格定量理论,丝毫没有讨价还价的余地。

在立方体晶胞上(内)任何的点,都可以用这48个点群元素来操作,被操作后的点必然还在晶胞上(内),这就是所谓的点群对称性。

我在上面的225号空间群表中,画了一条蓝线和绿线。这是我们要讨论的重点。

先看绿线的信息:

4完全可以理解为立方体晶胞属有的原子数目,例如,AlCuAg等晶体,属于晶胞的有4个原子(1/8×8+1/2×6),但是,晶胞却涉及到14个原子。

a”是对位置进行标记,当然了,你也可以用汉字来标记。

m3m3有上划线)是对位置进行的另外一种标记,我先不谈它(回避)。这一点也不影响我们理解空间群的要点,因为我们对AlCuAg等晶体很熟悉,很容易勾画出几何图像(物理图像)。

绿线上的最后一个数据就是原子坐标(0,0,0)。为什么只给出一个原子的。

AlCuAg等晶体的晶胞涉及到14个原子。空间群表只给出了一个原子坐标,实际上不只一个,还给出了原子坐标的“生成元”,(划红线的)即(000+、(01/21/2+,(1/201/2+,1/21/20+。别忘了,还有平移矢量“生成元”(100)(010)(001)。通过组合式加法,就可得到14个,它们是:

0,0,0;0,0,1;0,0.5,0.5;0,1,0;0,1,1;.5,0,0.5;0.5,0.5,0;0.5,0.5,1;0.5,1,0.5;1,0,0;1,0,1;1,0.5,0.5;1,1,0;1,1,1

一个不少,一个不多,正好14个。

国际空间群表明确表明:位于4a位置的有14个原子,上面都列出来了。这14个原子具有完全相同的空间群属性(or几何处境,or空间关系,or原子环境)。

凡是在空间群被列在一起的原子,例如,这14个原子,都安放在4a占位。就是因为它们都有完全相同的空间群属性。

但是,这14个原子的点群特性却完全不同。

为什么?

根据Oh点群,这14个原子可以分为两类:

角上原子:0,0,0;0,0,1; 0,1,0;0,1,1; 1,0,0;1,0,1; 1,1,0;1,1,1

面心原子:0,0.5,0.5;0.5,0,0.5;0.5,0.5,0;0.5,0.5,1;0.5,1,0.5;1,0.5,0.5。

位于立方体角上的原子和位于面心的原子,它们的点群属性完全不同。

因为,用Oh点群的48个元素,对称操作角上的原子,这个角上的原子它永远也不会跑到面心上。

就像转动魔方一样,谁也不可能把角块转到边块的位置上。

 

再看蓝线上的数据。(为了方便阅读,把图再拿过来)

其他意义同上,只看坐标(1/21/21/2)。

4b 位置上涉及到13个原子:

0,0,0.5;0,0.5,0;0,0.5,1;0,1,0.5;0.5,0,0;0.5,0,1;0.5,0.5,0.5;0.5,1,0;0.5,1,1;1,0,0.5;1,0.5,0;1,0.5,1;1,1,0.5

国际空间群表明:这13个原子的空间群属性or几何处境,or空间关系,or原子环境)是完全一样的。

但是,这13个原子,它们的点群属性却是完全不同的。

实际上,这13个原子坐标也可以分为两类:

立方体中心:0.5,0.5,0.5;

棱中心:

0,0,0.5;0,0.5,0;0,0.5,1;0,1,0.5;0.5,0,0;0.5,0,1;0.5,1,0;0.5,1,1;1,0,0.5;1,0.5,0;1,0.5,1;1,1,0.5

12个原子位于立方体的棱边中心,一个原子位于立方体中心。

位于棱边中心的原子和位于立方体中心的原子,它们的点群属性完全不同。

因为,用Oh点群的48个元素,对称操作棱边上的原子,这个棱边上的原子它永远也不会跑到体心上。

就像转动魔方一样,谁也不可能把边块转到魔方的体心位置上。

位置4a和位置4b,倒是完全等价的。

你把Al原子安放在4a位置,会得到fcc结构;

同样,你把Al原子安放在4b位置,也会得到fcc结构。

如果你把Na原子安放在4a位置,把Cl安放在4b位置,就会得到NaCl结构;

同样,如果你把Na原子安放在4b位置,把Cl安放在4a位置,也会得到NaCl结构。

但是,如果你从4a位置里拿出1Na原子和4b位置里拿出的1Cl原子进行交换,得到的结构是不存在的,即假的晶体结构。

   因此,晶体学是地地道道的严格理论。

 

口说无凭,附录一个作品^_^



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4 陈辉 吕喆 孙彧 xqhuang

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