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欧拉转动笛卡尔:答网友关于欧拉角的问题

已有 10687 次阅读 2013-1-31 07:31 |个人分类:晶体学和空间群|系统分类:科研笔记| 笛卡尔, 欧拉角

欧拉转动笛卡尔:答网友关于欧拉角的问题

笛卡尔(15961650,法国数学家、物理学家和哲学家。

笛卡尔对科学最辉煌的贡献就是创立了笛卡尔坐标系,被应用于数学、物理等很多学科。

欧拉(17071783,瑞士数学家和物理学家。

欧拉对数学和物理的贡献很多,欧拉的欧拉角则是专门针对笛卡尔的笛卡尔坐标系。因此,可以说欧拉转动着笛卡尔。

伽罗华(1811-1832群论奠基人(法国数学家),比欧拉晚了100多年。这似乎说明,欧拉角最早孕育了转动矩阵的思想。

笛卡尔的坐标系将千古留名,欧拉的欧拉角也将永远地转动着笛卡尔和他的坐标系。罗华的群论则最有效最彻底地描述了欧拉角和笛卡尔坐标系的关系。

网友问题:

1990年,我写了篇小文章,题目为《ODF的物理思想》,发表在《理化检验·物理分册》。在这篇小文章里,讲到了欧拉角、欧拉角在织构描述中的应用,还讲到了量子力学中的角动量理论。量子力学定义的欧拉空间里的一组正交完备基函数,被应用到了测量和描述材料的织构理论中,多么巧妙的应用!

1965年,两位外国学者(HJBungleRJRoe)几乎同时发表了关于定量描述织构(Texture)的文章,提出了ODFOrientation Distribution Function的概念。20年后的1986年,东北工学院粱志德教授把ODF介绍到中国,其第1篇文章就发表在《理化检验·物理分册》。

需要强调的是,ODF技术已经是轧制高级取向硅钢片的在线检测手段,可以和X射线衍射仪联机使用。ODF中第一个核心概念就是欧拉角【欧拉空间】,用一句时髦的话说,欧拉角已经通过ODF技术被转化为生产力了。^_^

凡是有晶体的地方,必然有织构的问题。例如,在(微观构造)地质学里,织构被称为组构。通过测量岩石的组构,可以判断当年生成这种组构的压力和温度。当然了,组构还有一个演化的问题。

言归正传,现在谈谈欧拉角。

欧拉角的本质是转动笛卡尔坐标系,其表达方式是五花八门。

可参见两个网站:

Euler angles - Wikipedia, the free encyclopedia

en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles - 网页快照类似结果 - 翻译此页

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The Euler angles are three angles introduced by Leonhard Euler to describe the orientation of a rigid body. To describe such an orientation in 3-dimensional ...

Proper Euler angles - Tait–Bryan angles - Relationship with physical motions

Euler Angles -- from Wolfram MathWorld

mathworld.wolfram.com › ... › Rotations - 网页快照类似结果 - 翻译此页

您已公开地对此项 +1 撤消

The three angles giving the three rotation matrices are called Euler angles. There are several conventions for Euler angles, depending on the axes about which ...

 

只要真正弄懂一种表达方式,就能实现举一反N的目的。

22年前,我在《ODF的物理思想》中使用的欧拉角定义如下:

22年来,我的使用习惯没有改变,现在描述魔方转动,用了同样的表达形式】

        实际上,图1a)相当于坐标系OABC,图1b)相当于坐标系OXYZ

公式(2)描述了坐标系OABCOXYZ的关系,其中,α、β、γ就是欧拉角。公式(2)中的欧拉角是怎么定义的呢?先把表达式(1)重写如下:

 

     一般地,【根据坐标系的转动就可以推导出来】

 

            

 

如果能在摆弄(转动)魔方的过程中体会欧拉角,那就是真正幸福的学习方法。下面给出两个PPT截图,图中有魔方、矢量、笛卡尔坐标系、矩阵等,当然也有欧拉角的一种表达式【比较表达式(6)】。

简单的方法和详细的内容,可以观看我的《魔方》课,提示如下:

http://v.163.com/special/cuvocw/mofangheshuxue.html(网易播放)

http://www.icourses.edu.cn/details/10425V002(爱课程播放)

转动矩阵的推导,出现在第2讲的约33分钟;

转动矩阵的应用【1】,出现在第3讲的约5分钟;

转动矩阵的应用【2】,出现在第4讲的始终;

转动矩阵的应用【3】,出现在第5讲的前部;

一个精彩的动画,出现在第5讲的约38分钟。

 

 


附录:ODF的物理思想【内含参考文献】

ODF的物理思想.pdf



https://wap.sciencenet.cn/blog-2321-658095.html

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