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《魔方和数学建模》第2讲（2/8）
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《魔方和数学建模》第2讲（2/8）
魔方已经拿到手了，魔方的状态也变了。
因此，我们今天开始讨论魔方的复位问题。
魔方爱好者等级：
一级：能恢复一层；☆
二级：能恢复两层；☆☆
三级：能恢复三层；☆☆☆
魔方的转动及其特点
循环：是魔方最基本的特性，任意的操作序列如果周期性地操作魔方，都可以实现循环。为方便起见，我们约定魔方从原始状态，经过操作序列T操作C次后，魔方又回到原始状态。
方位坐标系
例如，为了某边块的复位，操作序列可能要求按W（+Z）、R（+X）、Y（+Y）方式把魔方置于方位坐标系，即心块W向着Z轴的正方向，心块R向着X轴的正方向，心块Y向着Y轴的正方向。
为了另一个角块的复位，操作序列可能要求按B（+Z）、R（+X）、W（+Y）方式把魔方置于方位坐标系。魔方一旦以某种方式置于方位坐标系中，坐标系的6个方位就和魔方的6个转层一一对应起来了，这种对应关系要维持到一个操作序列全部完成，即把一个小块复位。
魔方复位方法
对于一个搅乱了的魔方，经过简单的旋转，我们可以先恢复一个面（不是一层），这个面称为参考面，参考面所在的层称为参考层，和参考面垂直的4个面称为侧面，剩下的一个面就是底面。我们约定参考面应该是向上的。
右手规则和左手规则
坐落在方位坐标系正方向（X，Y，Z）的面为乾面，转动正方向满足右手规则；坐落在方位坐标系负方向（-X，-Y，-Z）的面为坤面，转动正方向满足左手规则。
在操作中，转轴为X、Y、Z时，右手正方向转动；转轴为-X、-Y、-Z时，左手正方向转动。
转角
转角1表示90°，
转角2表示180°，
转角3表示270°。
复原顺序是上边位、上角位、中边位、底角位、底边位。
课堂练习：先复位一个面。
7.3.1 上边位
对准位：如图7.27，
图7.27 上边位操作与方位
上边位①是一个对准位。经过转动参考层，必有一个边位上的边块侧面颜色能和某面心块颜色一致，把这个位叫做对准位，置于方位坐标系的-Y方向。已经复位的上边位都是对准位。
考查位：如图7.27，上边位②是考查位。把要复原的边位，如边位②，置于方位坐标系的X方向，-Y方向必须是对准位。考查位就是本次操作要复原的位。确定考查位后，根据错位类型选择操作。其它上边位依次类推。
相邻错位：相对考查位②，要找的边块在边位③。
对边错位：相对考查位②，要找的边块在边位④。
表7-5 相邻错位复位操作
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转轴
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Y
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-Y
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X
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Y
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-Y
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-Z
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X
|
-X
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Y
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转角
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3
|
3
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1
|
1
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1
|
1
|
1
|
1
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3
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左接上表
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转轴
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-X
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X
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-Z
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Y
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-Y
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X
|
Y
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-Y
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转角
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3
|
3
|
1
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3
|
3
|
3
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1
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1
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表7-6 对边错位复位操作
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转轴
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Y
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-Y
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X
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Y
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-Y
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-X
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Y
|
-Y
|
X
|
Y
|
-Y
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转角
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3
|
3
|
1
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2
|
2
|
3
|
2
|
2
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1
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1
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1
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7.3.2 上角位
考查位：如图7.28，上边位①是考查位，被置于方位坐标系的OXYZ卦限。凡是要复原的上角位，都必须置于这个卦限。
图7.28 上角位操作与方位
左邻错位：相对考查位①，要找的角块在角位④。
后邻错位：相对考查位①，要找的角块在角位②。
对角错位：相对考查位①，要找的角块在角位③。
表7-7 左邻错位复位操作
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转轴
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Y
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-Z
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Y
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-Y
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-Z
|
-Y
|
Y
|
-Z
|
Y
|
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转角
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1
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3
|
3
|
1
|
1
|
3
|
1
|
3
|
3
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表7-8 后邻错位复位操作
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转轴
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-X
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-Z
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-X
|
X
|
-Z
|
X
|
-X
|
-Z
|
-X
|
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转角
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3
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3
|
1
|
3
|
1
|
1
|
3
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3
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1
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表7-9 对角错位复位操作
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转轴
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Y
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-Z
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Y
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-X
|
-Z
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-X
|
-Z
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Y
|
-Z
|
Y
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转角
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1
|
2
|
3
|
1
|
1
|
3
|
1
|
1
|
3
|
3
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7.3.3 中边位
参考角块：如图7.29和图7.30，在OXYZ卦限的角块称为参考角块。
考查位：参考角块下面的中边位是考查位，如图7.29和图7.30。
共轭位：参考角块除上色面外，还有两个侧色面，其颜色和要找的边块相同。如果这个边块处于底层时，底层有这样一个位置，使得这个边块的一个色面和参考角块的一个色面同侧同色。我们把这个位置称为参考角块的共轭位。
图7.29 前邻共轭
图7.30 右邻共轭
表7-10 前邻共轭复位操作
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转轴
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-Z
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Y
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-Z
|
Y
|
-Z
|
X
|
-Z
|
X
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转角
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3
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1
|
1
|
3
|
1
|
3
|
3
|
1
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表7-11 右邻共轭复位操作
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转轴
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-Z
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X
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-Z
|
X
|
-Z
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Y
|
-Z
|
Y
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转角
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1
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3
|
3
|
1
|
3
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1
|
1
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3
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调出操作：如果要找的边块不在底层，那么，这个边块必定在某一中边位。把这个边块从中边位调到底层的操作称为调出操作。调出操作的考查位如图7.31所示。
课堂练习：把魔方复位两层，达到☆☆级别
图7.31 调出操作与方位
表7-12 调出操作
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转轴
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Y
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-Z
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Y
|
-Z
|
X
|
-Z
|
X
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转角
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1
|
1
|
3
|
1
|
3
|
3
|
1
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至此，魔方的第一层和第二层已经被复位，如图7.32(a)，现在只剩下第三层,即底层没有复位。为了叙述方便，在复位第三层时，我们将魔方倒置过来，即将错位的底层翻到顶部，如图7.32(b)。为了叙述的连贯性，我们仍将处于图7.32(b)顶层错位的角块和边块称为底角块和底边块。
此外，底角块和底边块的块位和色位的复位也可以参看第六章的魔方状态函数。
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