任意n次不可约代数方程的解 及其有解判据

中国科学院力学研究所吴中祥 

提           要

任意1次到4次代数方程的公式解，根式解，早已被逐次求得。但大于4次的，虽经历代数学家近500年的努力，却至今尚未得到。特别是，1830年，伽罗华(Galois, E.)给出代数方程能够根式求解的判据之后，学术界就似乎已公认n>4的不可约代数方程没有根式解。

本人2011年的博文“任意n次不可约代数方程的根式解”

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-510331.html

已具体分析得到：伽罗华 理论所证明的，实际上，只是“在求解n次不可约代数方程的整个过程中，所添加根式的指数，n*，应是小于4”，并非所解方程的次数，n，应是小于4，并非方程的次数n大于4就不能有根式解。

并且，具体给出了任意5次、6次代数方程的根式解法。还推广到m逐次增大的，

任意n=2m和2m+1次代数方程的根式解的相应解法。其中，添加的根式都小于4，因而，都具体表明：对伽罗华 理论的如上的理解才是正确的，与实际相符，而不矛盾的。

本人2013年8月8日的博文“任意n次不可约代数方程的公式解”

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-715274.html

进而，给出任意n次不可约代数方程的多种公式解和根式解。对于n大于4的方程的解却是都根本无需再引进任何新的根式。

具体表明：任意n次不可约代数方程都完全可以解得根式解和公式解。

所添加的根式，也都小于4，也都更为有力的表明：纠正“通常错误理解伽罗华理论“的正确和必要。

本文将进而具体分析说明，任意n次不可约代数方程的解及其有解判据。虽然，解得任意n次不可约方程的解，确实都不引进大于3次的根式，但是，其可解性既不受方程的次数，也不受引进根式的次数限制，而实际并不存在任何不可解的判据。

关键词：不可约代数方程根式解 公式解 伽罗华理论

1.伽罗华 理论的产生及其正确理解

早在公元前3世纪，就已得出2次不可约代数方程的根式解。但是，只到公元16世纪，

才先后得到3次和4次不可约代数方程的根式解。它们的解法都引进了含有方程参量系数的2次、3次的根式。

而此后的近5个世纪，虽有许多人寻求n>4的不可约代数方程的根式解。却都没能成功。

进而，伽罗华可能正是从解方程的过程中引进根式各方程的各个方程群的特点，研讨给出代数方程能够求得根式解的判据。之后，阿贝尔(Abel, N.N. 1830) 据此，首先提出n>4的不可约代数方程不能根式求解，学术界就似乎已公认n>4 的不可约代数方程没有根式解[1] 。

因而，对于n>4 的不可约代数方程，就只能在具体分析其各“解”所在数域的基础上，数值地逼近，或引入某些特殊函数求解。这当然就给许多实际问题和理论工作造成许多限制和不便。

其实，具体分析伽罗华 理论 [2][3]，确可证明：方程根式解的可解性是相应于将方程各系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群的可解性，而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数，而当这种变换群的阶数>4时，其对称置换群，及其子群，就都是非交换群的单群，就都是不可解的。

因此，伽罗华 理论所能证明的，只是：“当方程的整个求解过程中添加根式的最大指数n*>4时，一般不可约代数方程没有根式解”。

显然，其整个求解过程中添加根式的最大指数，n*，并非所解方程的次数n，按伽罗华理论，完全得不出其整个求解过程中添加根式的最大指数，n*，等于所解方程的次数n，或两者有任何关系的根据。阿贝尔也未能给出n>4的不可约代数方程就没有根式解的任何根据。

因而，按伽罗华 理论，迄今似已公认的“n>4的不可约代数方程没有根式解”的结论，只有当n*等于n时，才能得出。

但是，n*并不必须等于n，若能使n*始终保持小于4，例如本文采用的如下各种解法，

就能与正确理解的伽罗华理论并不矛盾地，求得任意n次不可约代数方程的根式解。

2. 代数方程变换变量、引入根式所形成的群，具体分析说明伽罗华理论

对于任何代数方程都可采用变换变量，对其各系数作某种有理运算和添加根式，而使其各根在复平面上移动、转动，而使方程有不同的形式，这些不同形式的方程，就形成相应的群。例如：

对于2次方程：

x^2+a1x+a0=0,                                      (2.1)

引进含有方程参量系数2次的根式，一般而言，实际上，就是将方程变化到使其各根在复平面移动、转动变换后，而能明显地表现出其各自以方程各系数的有理运算和根式表达的相应位置。即：能解得根式解：

x=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),

=-a1/2-((a1/2)^2-a0) ^(1/2),                             (2.2)

这就具体表明：方程根式解的可解性是相应于将方程各系数作有理运算与逐次添加相

应根式的变换群的可解性。

一般说，方程各系数都是实有理数，而对实有理数作的各种有理运算，会有如下一些结果：

对于加法：只是各相加的数加在一起。

对于减法：若被减数小于减数，就还会由正数变成负数。

对于乘法：只是各相乘的数乘在一起。

对于除法：一些情况就可能出现几位数字的循环小数。

对于开方：就还可能出现无理数。

但是，它们都可在同一个数轴上表达。

但是，根号内的数值，例如，(a1/2)^2-a0，还可能是负值，而((a1/2)^2-a0) ^(1/2) 就可能是虚数。就必需在与实数轴正交的虚数轴上表达，而形成了复平面。

实际上，一般而言，任意负实数，-s，的j次根式，(-1)^(1/j)s^(1/j)，就产生了以(-1)^(1/j)标志的各自与实数不同的数类。其绝对值的根式，s^(1/j)是无理数。也都可在相应的数轴上表达。

当j=2，(-1)^(1/,2)就被定义为i，就标志该数是所谓“虚数”。

当j是大于2的其它数，如果把它们也都当作是不同类的数，就都可形成不同的彼此正交的数轴。这种数轴可形成多维的复空间。

但是，实际上，它们都是与实数、虚数有各种不同的关系，例如，当j非素数，该类是相应素数的相应次数的自乘积。

例如，若令：(-1)^(1/2)=i,  (-1)^(1/3)=i’, 则有： i^(1/3)=i’^(1/2), i^(2/3)=i’, … 等等，会有很多复杂、麻烦的关系式。

也因而，由他们间存在的相互转换关系，而可仅由实数和虚数的各种运算表达。而不宜采用其它任何新的数类。

而且，如果把(-1)^(1/j)作各自不同类的数，就会：当在方程的变换中，出现j大于2的其它数，的(-1)^(1/j)，就不可能由这种变换求得方程各根在实数和虚数的复平面上的相对位置，也就不能得解。

但是，对于3次方程：

y^3+b1y+b0=0,                                           （2.3）

因可利用x^2+x+1=0,的2个根，w1=(-1-i3^(1/2))/2,  w2=(-1+i3^(1/2))/2, 将y的3个根

由w1，w2，及两个参量z1，z2，分别表达为：y0=z1+z2，y1=w1z1+w2z2，y2=w2z1+w1z2，而按方程根与系数的关系，引进了含有方程参量系数的3次根式：

z1=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

z2=(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

其中的各根式都仅取实数的绝对值，而不采取(-1)^(1/3)的标志。而能解得：

y0=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

y1=w1(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+w2(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

y2=w2(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+w1(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)，(2.4)

于是，解得任意的3次y方程的根式解。

实际上，就是由w1，w2，及两个参量z1，z2，将方程变化到使其各根在复平面移动、转动，都能由w1，w2，及两个参量z1，z2表达它们在复平面上的相对位置，而解得3次的根式解。

因而，引进3次根式，方程仍能得解。

还可看到：(2.2)的2个根和(2.4)的3个根，都是可彼此对称交换变换的。

而且，由于当年，4次方程只是引入一个3次变量将它分解为2个2次方程而得解。而5次方程仍然未能得解，就会自然地从2次、3次和4次方程逐次引进2次、3次根式而得解，而想到，因需引进更高次根式，而使方程不能得解。并且认为，这个方程能有解而能引进的最高方次就是4。

因此，伽罗华[2][3]，就可能由此，推断得出：方程根式解的可解性是相应于将方程各系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群的可解性，而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数，而当这种变换群的阶数>4时，其对称置换群，及其子群，就都是非交换群的单群，就都是不可解的。

3.任意n次不可约代数方程的可解性既不受方程的次数，也不受引进根式的次数限制

实际上，在博文“任意n次不可约代数方程的公式解”中给出的任意n次不可约代数方程的多种公式解和根式解，因所添加的根式，都小于4，而都能符合如上理解的伽罗华理论。

但是，按上节的分析，应只是在方程的变换中，出现j不=2的其它数的(-1)^(1/j)，才不能由这种变换而得解。

而且，类似于解3次方程的方法，虽然，在方程的变换中，引进了大于2的其它数的根式，但是，根号内的都是实数的绝对值，因而，也并不出现j大于2的其它数的(-1)^(1/j)，就仍然可以有解。而且，对于这样的解法，还因高于3次的方程，所引进的多于2个参量的关系式，就仍然能由这种变换，都可不增加引进新的根式，而得解。

   而且，高于3次的所有方程，都可直接利用方程各系数与各根的关系式，逐次降幂，不引进任何新的根式，而得解。还可引进适量的参量，将方程的多项式分解为因式，利用各参量与方程各系数的关系，解得那些参量，而由其远为低次的各因式方程分别求解，也不引进任何新的根式，而得解。

因而，虽然，解得任意n次不可约方程的解，确实都不引进大于3次的根式，却并不能，以此，作为任意n次不可约方程是否有解的“判据”。

任意n次不可约代数方程的可解性既不受方程的次数，也不受引进根式的次数限制，而实际并不存在任何不可解的判据。

4．参考文献：

[1]数学百科全书编委（顾问）苏步青等（主任）王元等科学出版社 1994

[2]Basicalgebra 1-2 Jacobson, N. Freeman 1974-1980

[3] Algebra 1-2 B.I. Van Der WaerdenSpringer-Verleg  1955-1959