任意n次不可约代数方程的公式解

中国科学院力学研究所吴中祥

提           要

任意1次到4次代数方程的公式解，根式解，早已被逐次求得。但大于4次的，虽经历代数学家近500年的努力，却至今尚未得到。特别是，1830年，伽罗华(Galois, E.)给出代数方程能够根式求解的判据之后，学术界就似乎已公认n>4的不可约代数方程没有根式解。

本人2011年的博文“任意n次不可约代数方程的根式解”

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-510331.html

已具体分析得到：伽罗华理论所证明的，实际上，只是“在求解n次不可约代数方程的整个过程中，所添加根式的指数，n*，应是小于4”，并非所解方程的次数，n，应是小于4，并非方程的次数n大于4就不能有根式解。

并且，具体给出了任意5次、6次代数方程的根式解法。还推广到m逐次增大的，

任意n=2m和2m+1次代数方程的根式解的相应解法。其中，添加的根式都小于4，因而，都具体表明：对伽罗华理论的如上的理解才是正确的，与实际相符，而不矛盾的。

本文进而给出任意n次不可约代数方程的多种公式解和根式解。

所添加的根式，也都小于4，也都更为有力的表明：纠正“通常错误理解伽罗华理论“的正确和必要。

关键词：不可约代数方程根式解公式解伽罗华理论

1.任意n次不可约代数方程的具体表达

任意n次不可约代数方程可表达为：

x^n+a(n-1)x^(n-1)+a(n-2)x^(n-2)+...+a(1)x+a(0)=0,             (1.1)

   其中，a(j); j=0,1,2,...,n-1,是方程的n个系数，都是有理实数(也可推广为相应的实数和虚数)，首项(n次项)系数为1，若不为1，可由该数遍除各系数，而成上式。

还可采用变换：y=x+a(n-1)/(n-1),代入原方程，即将原方程简化为y^(n-1)的系数

b(n-2)=0, 的形式：

y^n+b(n-2)y^(n-2) +b(n-3)y^(n-3)+... +b(1)y+b0=0,             (1.2)                                          

因而，还可由仅有如(1.2)的，n-1个系数的方程表达。

但需注意：

只有各系数均由相应的代数参量表达，方程才是任意的，若为某个数值，方程就不是任意的了。

所有的数值方程都不可能有公式解，即使带有根式，因其系数不是代数参量，就也不能称为根式解。

只有不可分解为有理因式的方程才是不可约方程，否则，就可分别由其低次的各因式分别求解。

2.利用方程的各根与各系数的关系式求解代数方程

n次方程(1.1)、(1.2)，都有n个根，x[1],x[2],x[3],…,x[n]，y[1],y[2],y[3],…,y[n]。各根与各系数都分别有如下的关系式：

对于方程(1.1)，为：

-(x[1]+x[2]+x[3]+…+x[n])=a(n-1),                                       (2,1)

x[1](x[2]+x[3]+…+x[n])+x[2](x[3]+x[4]+...+x[n])+...+x[n-2](x[n-1]+x[n])

+x[n-1] x[n]=a(n-2),                                                   (2.2)

-(x[1](x[2](x[3]+]x[4]+...+x[n])+x[3](x[4](x[5]+x[6]...+x[n])+...+x[n-1]x[n])

+ x[2](x[3](x[4]+]x[5]+...+x[n])+x[4](x[5](x[6]+x[7]...+x[n])+...+x[n-1]x[n])

+...+x[n-2] x[n-1] x[n])=a(n-3),                                       (2.3)

  ...   ...  ...

-x[1]x[2]x[3]...x[n]=a(0),                                             (2.n)

(当n为奇数，左端各项为负，当n为偶数，则左端各项为正)

分别为n个互不相依的n个方程。

对于方程(1.2)，仅需将：x换为y；a换为b；并注意b(n-1)=0，即可。

由方程(2.1)，即得x[1]：

x[1] =-(x[2]+x[3]+…+x[n] +a(n-1)),                                      （1*）

在如上n个方程中，仅以x[1]为变量，其它各x[j];j=2,3,...,n,及方程各系数为参量，就都可由此n个互不相依的代数方程，消去x[1]，而得到组合数c(n,2)=n(n-1)/2个

以x[2]为变量，其它各x[j];j=3,4,...,n,及方程各系数为参量的方程。

这n(n-1)/2个方程中，变量x[2]的次数会有一定的增高。

当n>3，消去x[1]，而得到组合数c(n,2)=n(n-1)/2个，就大于6，消去x[j]; j>1，而得到

的组合数就更多。

消去x[1]，就可选其中互不相依的含有方程的全部系数的各个方程联立，逐次降幂，直到x[2]的1次方，即得以x[j];j=3,4,...,n,及方程各系数为参量表达的x[2]。

类似地，逐次消去x[j];j=,3,...,n-1，逐次降幂，直到x[j+1]的1次方，即得：

以x[k];=j+2,j+3,,...,n,及方程各系数为参量表达的x[j+1]。

   其中，x[j+1]为变量的方程的次数可能会很高，但是，因为，方程的各根都必能满足原方程，即，必有：

x[k]^n+{a[j]^jx[k]^j ; j=0到n-1求和}=0,k=1,2,... n,即有：

x[k]^n=-{a[j]^jx[k]^j ; j=0到n-1求和}, k=1,2,...n,                          

由此，所有高次的x[k]都可仅由最高为n-1次的各项表达。

而x[k]为变量的各方程，当n>3，消去x[k-1]，而得到组合数就都很多，它们都可仅由最高为n-1次的各项表达,并与相应的方程联立，而都至少有两个互不相依的方程，而必能逐次降幂至其1次方，和可被消去。如此，即得仅以方程各系数为参量表达的x[n]。

再将x[n]逐次代入以x[k];=n,n-1,...,j及方程各系数为参量表达的x[j-1];j=n,n-1,...,2, 各式，即得：仅以方程各系数的有理运算表达的任意n次不可约代数方程的各公式解。

而且，这些解都是根本不引进任何根式，仅由其各系数的有理运算表达的公式解，也与正确理解的伽罗华的理论并不矛盾。

2.1.任意2次不可约代数方程的公式解

当n=2, 即方程：

x^2+a1x+a0=0,                                         (2.1.1)

其根为x1、x2，则由方程的根与系数的关系，只有如下2个方程：

x1+x2=-a1，                                      (1)

x1x2=a0，                                        (2)

因只有2个方程，就不足以用如前逐次降幂、消去的办法求解。

而只能，由(1)平方：

(x1+x2)^2=x1^2+2x1x2+x2^2=a1^2，                      (3)

由(3)、(2)：

(x1-x2)^2=x1^2-2x1x2+x2^2=a1^2-4a0，得到：

x1-x2=(a1^2-4a0)^(1/2)                                   (4)

引进含有方程参量系数2次的根式，再由(1)与(4)，即解得根式解：

x=-a1/2+((a1/2)^2-a0) ^(1/2),

=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2),                             (2.1.2)

   一般而言，此解可以是复数的。

当((a1/2)^2-a0)^(1/2)为有理数，则方程是可约的。

方程的解法，实际上是将方程变化到使其根在复平面移动、转动，到能够求解而得解。

又因只引进了含有方程参量系数的2次根式,当然也不违反正确理解的伽罗华理论。

当a1=a0=1,  (2.1,1)为：

x^2+x+1=0,                                              (2.1.1’)

解得：

x=-1/2-或+((1/2)^2-1)^(1/2))=(-1-或+i3^(1/2))/2=w1,w2,           (2.1.2’)

2.2．3次不可约代数方程的根式解

当n=3,即方程：

x^3+a2x^2+a1x+a0=0,                                       (2.2.1)

当令：y=x+a2/3,  x=y-a2/3代入原方程，即将原方程简化为y^2的系数=0的形式：

y^3+b1y+b0=0,                                             (2.2.2)

其中，b1=a1-a2^2/3, b0=a0-a2a1/3+2a2^3/27,

方程有3个根y1，y2，y3，且有：

-(y1+y2+y3)=0, y1(y2+y3)+y2y3=b1, -y1y2y3=b0,

虽能如前逐次降幂，求得并消去y1、y2，但得到的y3的3个3次方程却都彼此相同，

而不能如前逐次降幂求解。

而可利用x^2+x+1=0,的2个根，w1=(-1-i3^(1/2))/2,  w2=(-1+i3^(1/2))/2, 将y的3个根

由w1，w2，及两个参量z1，z2，分别表达为：

y0=z1+z2，y1=w1z1+w2z2，y2=w2z1+w1z2，而按方程根与系数的关系，有：-(z1+z2+w1z1+w2z2+w2z1+w1z2)=0,

b1=(z1+z2)(w1z1+w2z2)+(w1z1+w2z2)(w2z1+w1z2)+(w2z1+w1z2)(z1+z2)

=-3z1z2,即：

z2=-b1/(3z1),                             (1)

b0=-(z1+z2)(w1z1+w2z2)(w2z1+w1z2)

=-(z1^3+z2^3),即：

z1^3+z2^3=-b0,                           (2)

联立(1) (2)，即解得：

z1^6+b0z1^3-(b1/3)^3 =0,

z1^3=(-b0+(b0^2+4(b1/3)^3)^(1/2))/2

=-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2),

z1=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

z2=(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

  即引进了含有方程参量系数的3次根式，而解得：

y0=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

y1=w1(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+w2(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

y2=w2(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+w1(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)，

于是，解得任意的3次y方程的根式解。

而任意的3次x方程的根式解为：

xj=yj-a2/3; j=0,1,2,

 方程的解法，实际上，也是将方程变化到使其根在复平面移动、转动，并利用w1，w2，及两个参量z1，z2，而达到能够求解而得解。

又因只引进了含有方程参量系数的3次根式,当然也不违反正确理解的伽罗华理论。

2.3．4次不可约代数方程的根式解(本文给出的如下具体解法有利于推广到n=2m)

当m=2; n=4, (2.1)式即方程：

x^4+{ajx^j,j=0到3求利和}=0，                                 (2.3.1)

现在，考虑引进相应根式的简化求解法。引入函数y，并取:

(x^2+a1x/2+y/2)^2=x^4+a3x^3+((a3/2)^2+y)x^2+(a3y/2)x+(y/2)^2

原方程可改写为：

(x^2+a3x/2+y/2)^2=((a3/2)^2-a2+y)x^2+(a3y/2-a1)x+(y^2/4-a0),

设当上式右边成为x函数的完全平方：

((a3/2)^2-a2+y)x^2+(a3y/2-a1)x+(y^2/4-a0)=(c1x+c0)^2

由(c1x+c0)^2=c1^2x^2+2c1c0x+c0^2,有：

c1^2=(a3/2)^2-a2+y, 2c1c0=a3y/2-a1, c0^2=y^2/4-a0,  c1=((a3/2)^2-a2+y)^(1/2), c0=(y^2/4-a0)^(1/2),  2c1c0=2((a3/2)^2-a2+y)^(1/2)(y^2/4-a0)^(1/2)=a3y/2-a1，

((a3/2)^2-a2+y)(y^2/4-a0)=(a3y/2-a1)^2/4，亦即得到：

y^3+(3(a3/2)^2/4-a2)y^2+(a3a1-4a0)y-4((a3/2)^2-a2)a0-a1^2=0，     (2.3.2)

当令：s=y+((a3/2)^2/4-a2/3),  y=s-((a3/2)^2/4-a2/3),                  (2.3.3)

y^3= s^3-(3(a3/2)^2/4-a2)y^2+3((a3/2)^2/4-a2/3)^2y-((a3/2)^2/4-a2/3)^3

y^2= s^2-2((a3/2)^2/4-a2/3)s+((a3/2)^2/4-a2/3)^2

y=s-((a3/2)^2/4-a2/3),

s^3-(3(a3/2)^2/4-a2)s^2+3((a3/2)^2/4-a2/3)^2s-((a3/2)^2/4-a2/3)^3

+(3(a3/2)^2/4-a2)(s^2-2((a3/2)^2/4-a2/3)s+((a3/2)^2/4-a2/3)^2)

+(a3a1-4a0)(s-((a3/2)^2/4-a2/3))

          -4((a3/2)^2-a2)a0-a1^2 =0，

s^3+3((a3/2)^2/4-a2/3)^2s

-2(3(a3/2)^2/4-a2)((a3/2)^2/4-a2/3)s

+(a3a1-4a0)s

-((a3/2)^2/4-a2/3)^3

+(3(a3/2)^2/4-a2)((a3/2)^2/4-a2/3)^2

-(a3a1-4a0)((a3/2)^2/4-a2/3)

-4((a3/2)^2-a2)a0-a1^2=0，        即：

s^3+(-3a3^4/256+a2a3^2/8+a2^2+a3a1-4a0)s

+2a3^6/16^3-a2a3^4/128-a1a3^3/16+(a2^2/8-3a0/4)a3^2+a1a2a3/3

-2a2^3/27+8a0a2/3-a1^2=0，

将(2.3.3)代入方程(2.3.2)，即将它简化为s^2的系数=0的形式。即：

s^3+b1s+b0=0,                              (2.3.4)

b1=-3a3^4/256+a2a3^2/8+a2^2+a3a1-4a0,

b0=2a3^6/16^3-a2a3^4/128-a1a3^3/16+(a2^2/8-3a0/4)a3^2+a1a2a3/3-2a2^3/27+8a0a2/3-a1^2,解得：

s0=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

s1=w1(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)

+w2(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

s2=w2(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)                          (2.3.5)

而3次y方程，(2.3.2)，的解为：

yj=sj+((a3/2)^2+a2)/3;j=0,1,2,                                        (2.3.6)

而原方程可表达为两个x的2次方程：

(x^2+a3x/2+y/2)^2=(c1x+c0)^2,即有：

x^2+a3x/2+y/2+或-(c1x+c0) =0, 即：

x^2+(a3/2+(a3^2/4-a2+y)^(1/2))x+y/2+(y^2/4-a0)^(1/2))=0,  

x^2+(a3/2-(a3^2/4-a2+y)^(1/2))x+y/2-(y^2/4-a0)^(1/2))=0,            (2.3.7)

以解得的(2.3.6)中，y的根代入方程(2.3.7)，并分别求解这两个x的2次方程(因各根代入的结果相同，故仅需以y0代入)，即

得 4次方程(2.3.1)的4个根。

其中，除了解3次s方程时，引入了2次、3次的根式；解2次x方程时，引入了2次

的根式外，没有更高次的根式，当然也不违反正确理解的伽罗华理论。

2.4．6次不可约代数方程的根式解(本文的创新)

当m=3; n=6,(2,1)式即方程：

x^6+{a[j]x^j,j=0到5求和}=0，                               (2.4.1)

引入2个函数y1、y2，并取：

(x^3+a5x^2/2+(a4+y1)x/2+y0/2)^2

=x^6+a5x^5+(a5^2/4+(a4+y1))x^4+(a5(a4+y1)/2+y0)x^3+(a5y0/2+(a4+y1)^2/4)x^2

+(a4+y1)y0x/2+y0^2/4,

原方程可改写为：

(x^3+a5x^2/2+(a4+y1)x/2+y0/2)^2

=(a5^2/4+y1)x^4+(a5(a4+y1)/2-a3+y0)x^3

+((a4+y1)^2/4-a2+a5y0/2)x^2+((a4+y1)y0/2-a1)x+(y0^2/4-a0),

设当上式右边成为x函数的完全平方：

原方程(x^3+a5x^2/2+(a4+y1)x/2+y0/2)^2=(c2x^2+c1x+c0)^2，就可分解成为如下两式：

x^3+(a5/2+c2)x^2+((a4+y1)/2+c1)x +(y0/2+c0)=0；

x^3+(a5/2-c2)x^2+((a4+y1)/2-c1)x +(y0/2-c0)=0，                      (2.4.2)

且有：

(a5^2/4+y1)x^4+(a5(a4+y1)/2-a3+y0)x^3+((a4+y1)^2/4-a2+a5y0/2)x^2

+((a4+y1)y0/2-a1)x+(y0^2/4-a0)

=(c2x^2+c1x+c0)^2

=c2^2x^4+2c2c1x^3+(c1^2+2c2c0)x^2+2c1c0x+co^2，

由此，即可分别解得：

c2=a5/2，  2c2c1=a5(a4+y1)/2-a3+y0，  c1^2+2c2c0=(a4+y1)^2/4-a2+a5y0/2，

2c1c0=(a4+y1)y0/2-a1，  c0^2=y0^2/4-a0，

由第1式，得：c2=a5/2，c2代入第2式，得：c1=(y0-a3)/a5+(a4+y1)/2

c1代入第4式，得：c0=((a4+y1)y0/2-a1)/(2(y0-a3)/a5+(a4+y1))，即得：

c2=a5/2，c1=(y0-a3)/a5+(a4+y1)/2，c0=((a4+y1)y0/2-a1)/(2(y0-a3)/a5+(a4+y1))，   (2.4.3)

c2、c1、c0代入第3式，得：

(y0-a3)^2/a5^2+(y0-a3)(a4+y1)/(2a5)+(a4+y1)^2/4+a5((a4+y1)y0/2-a1)/(2(y0-a3)/a5+(a4+y1))

-(a4+y1)^2/4+a2-a5y0/2=0，即：

2y0^3/a5^3+(-6a3/a5^3+2a4/(a5^2)-1+2y1/(a5^2))y0^2

+(2a2/a5+4a3^2/a5^3+a3^2/a5^3-4a3a4/(a5^2)+a3+(-4a3/(a5^2))y1)y0

-a1a5-2a2a3/a5+a2a4-2a3^3/a5^3+2a3^2a4/(a5^2)-a4^3/4+(a2+2a3^2/(a5^2)-3a4^2/4)y1

-3a3y1^2/(4a5)-3a4y1^2/4-y1^3/4=0，                                     (1’)

c0代入第5式，得：((a4+y1)y0/2-a1)^2/(2(y0-a3)/a5+(a4+y1))^2-y0^2/4+a0=0,即：

-4y0^4/a5^2+(-4a4/a5+8a3/a5^2-4y1/a5)y0^3

+(a4^2/4+4a0/a5^2+(-3a4/2+4a3/a5)y1-3y1^2/4))y0^2

+(4a0a4/a5-8a0a3/a5^2-a1a4+(4a0/a5-a1)y1)y0

+a1^2+4a0a3^2/a5^2-4a0a3a4/a5+a0a4^2+(2a0a4-4a0a3/a5)y1+a0y1^2)=0,            (2’)

由(1’)、(2’)两式，首先逐次将y0降幂至1次，即得到以y1和ai; i=0到5，表达的y0，进而，消去y0，即得到y1以ai; i=0到5，表达的5次代数方程。整个运算过程可按第2,3节地方法类似地进行。

由y1的这个5次代数方程解出以ai; i=0到5，表达的y1，再代入以y1和ai; i=0到5，

表达的y0，求得以ai; i=0到5，表达的y0。

于是，将它们代入(2.4.3)，就得到以ai; i=0到5，表达的 c2,c1,c0,

再将它们都分别代入(2.4.2)，的两个3次x方程，并求解它们，即得：6次不可约代数

方程的6个根式解。当然，这就比直接解6次不可约代数方程要简便得多。

其中，除了在解两个3次x方程时，又都分别引入了2次、3次的根式解而外，也没有

形成更高次的根式解。当然也就不违反正确理解的伽罗华理论。

2.5．2m(m>2)次不可约代数方程的根式解(本文的创新)

类比4次、6次不可约代数方程的根式解的解法，对于所有偶次高次方程就都可引入函

数yi; i=0,1,…,m-2，和常数cj; j=0,1,…,m-1,将原2m(m>2)次方程改写为：两个含y的m次x方程，并得到m+1个yi的相应低次的方程，解得yj; i=0,1,…,m-2，和常数cj; j=0,1,…,m-1,的仅含该不可约代数方程各系数的表达式。将它们代入两个m次x方程，并分别求解，即得：原2m次方程的2m个根，而解得2m(m>2)次不可约代数方程的根式解。当然，更比直接解2m次不可约代数方程简便得多。

而且，由于m>4次不可约代数方程中不含任何次的根式解，2m次不可约代数方程，

除了在解两个m次x方程时，又都分别引入了2次、3次的根式解而外，也没有形成更高次的根式解。当然也就都不违反正确理解的伽罗华理论。

3．伽罗华理论的产生及其正确理解

早在公元前3世纪，就已得出2次不可约代数方程的根式解。但是，只到公元16世纪，

才先后得到3次和4次不可约代数方程的根式解。它们的解法都引进了含有方程参量系数的2次、3次的根式。

而此后的近4个多世纪，虽有许多人寻求n>4的不可约代数方程的根式解。却都没能

成功。

进而伽罗华可能正是从解方程的过程中引进根式各方程的群的特点研讨，给出代数

方程能够求得根式解的判据。之后，阿贝尔(Abel, N.N. 1830) 据此，首先提出n>4的不可约代数方程不能根式求解，学术界就似乎已公认n>4 的不可约代数方程没有根式解[1] 。

而对于n>4 的不可约代数方程，就只能在具体分析其各“解”所在数域的基础上，数值地逼近，或引入某些特殊函数求解。这当然就给许多实际问题和理论工作造成不便。

其实，具体分析伽罗华理论[2][3]，确可证明：方程根式解的可解性是相应于将方程各

系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群的可解性，而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数，而当这种变换群的阶数>4时，其对称置换群，及其子群，就都是非交换群的单群，就都是不可解的。

因此，伽罗华理论所能证明的，只是：“当方程的整个求解过程中添加根式的最大指数n*>4时，一般不可约代数方程没有根式解”。

显然，其整个求解过程中添加根式的最大指数，n*，并非所解方程的次数n，按伽罗华理论，完全得不出其整个求解过程中添加根式的最大指数，n*等于所解方程的次数n，或两者有任何关系的根据。阿贝尔也未能给出n>4的不可约代数方程就没有根式解的任何根据。因而，按伽罗华 理论，迄今似已公认的“n>4的不可约代数方程没有根式解”的结论，只有当n*等于n时，才能得出。

但是，n*并不必须等于n，若能使n*始终保持小于4，例如本文采用的如下各种解法，

就能与正确理解的伽罗华理论并不矛盾地，求得任意n次不可约代数方程的根式解。

4．由各系数与各根的关系式逐次降幂求解4次不可约代数方程。

x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0，                  (4.1)

按方程的各根与各系数的关系，有：

x1+x2+x3+x4=-a3,                                                (1)

x1 =-(a3+x2+x3+x4),                      (a)

x1(x2+x3+x4)+x2(x3+x4)+x3x4=a2,                                   (2)

x1(x2(x3+x4)+x3x4)+x2x3x4=-a1，                                   (3)

x1x2x3x4=a0,                                                    (4)

由此，顺序逐次求解并消去各根，并利用各根均满足原方程，各根的高于4次方的量都用低于4次方的量表达。即得：

x2=-(x3^3x4^3-x3^2(x4^2a2+x4a1+a0)-x3(x4^2a1+x4a0)-x4^2a0)

/(x3^3x4^2+x3^2(x4^3+x4^2a3)-x3(x4a1+a0)-x4a0),                 (b)

x3=(x4^2a3^2+2a0)/(x4^2a3)                                        (c)

x4 =-A(5,0)/A(5,1),                                                (d)

   其中：

A(5,1)=A(4,2)A(3,1)-A(3,2)A(4,1),

A(5,0)=A(4,2)A(3,0)-A(3,2)A(4,0),

A(4,2)=A(3,2)A(2,2)-A(2,3)A(3,1),

A(4,1)=A(3,2)A(2,1)-A(2,3)A(3,0),

A(4,0)=A(3,2)A(2,0),

A(3,2)=A(2,3)A(1,2) - A(1,3)A(2,2),

A(3,1)=A(2,3)A(1,1) -A(1,3)A(2,1),

A(3,0)=A(2,3)A(1,0)-A(1,3)A(2,0),

A(2,3)=A(1,3)a3-A(1,2),

A(2,2)=A(1,3)a2-A(1,1),

A(2,1)=A(1,3)a1-A(1,0),

A(2,0)=A(1,3)a0,            

A(1,3)=-a3^9-a3^7a2-3a3^6a1+a3^5(a2^2+3a0)+a3^4a2a1-2a3^3a2a0-3a3^2a1a0+4a3a0^2,

A(1,2)=-a3^8a2+a3^7a1- a3^6(2a2^2+a0) -a3^5a2a1+a3^4(4a2a0+a1^2) -3a3^3a1a0+14a3^2a0^2,

A(1,1)=-a3^8a1+a3^7a0-2a3^6a2a1+a3^5(a2a0-2a1^2)+5a3^4a1a0-3a3^3a0^2,

A(1,0)=-a3^8a0-2a3^6a2a0-2a3^5a1a0+4a3^4a0^2+8a0^3,

都是方程各系数的函数。

再以(d)逐次代入(c),(b),(a),即得解。

   具体表明：对于4次以上的不可约代数方程，已可不引入任何根式直接由各系数与各根的关系式逐次降幂而得解。

5．由各系数与各根的关系式逐次降幂求解5次不可约代数方程。

任意5次不可约代数方程：x^5+{a[j]x^j ; j=0到4求和}=0，          (5..1)

都可由变换y=x+a4/5变换为：4次项的系数=0，的如下形式:

y^5+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0,                                          (5.1”)

它的5个根与系数间有如下关系式：

y0+y1+y2+y3+y4=0，                                                   (1)

y0=-(y1+y2+y3+y4)，                                          (a)

  即：y0可由y1,y2,y3,y4之和表达。

y0(y1+y2+y3+y4) +y1(y2+y3+y4)+y2(y3+y4)+y3y4-b3=0,                       (2)

y0(y1(y2+y3+y4)+y2(y3+y4)+y3y4)+y1(y2(y3+y4)+y3y4)+y2y3y4+b2=0,           (3)

y0(y1y2(y3+y4)+y1y3y4+y2y3y4)+y1y2y3y4-b1=0,                             (4)

y0y1y2y3y4+b0=0,                                                      (5)

(2)、(3)、(4)、(5)各式，都是仅由y1、y2、y3、y4，及方程各系数表达的互不相依的代数方程。

当取y1为变量，y2、y3、y4，及方程各系数为参量，由此4个互不相依的代数方程，逐次降幂直到：

y1=(2y2(y3^3y4^2b0+y3^2y4^3b0)+2y3^3y4^3b0)                                

/(y2^2y3^4y4^4-y2(y3^3(y4^3(b2+b0)+y4^2b1+y4b0)+y3^2(y4^3b1+3y4^2b0)+y3y4^3b0)

-(y3^3(y4^3b1+3y4^2b0)+y3^2y4^3b0)),                        (b)

即得：仅由y2,y3,y4，及方程各系数表达的y1

由此得到仅有y2,y3,y4，3个变量的4个代数方程。

当取y2为变量，y3,y4，及方程各系数为参量，由此选取3个互不相依的代数方程，逐次降幂直到：

y2=(y3^4+y3^3y4+y3^2(y4^2+b3)+y3(y4^3+y4b3+b2)+y4^4+y4^2b3+y4b2+b1)

/(y3y4^2),                                                  (c)

即得：仅由y3,y4，及方程各系数表达的y2。

由此得到仅有y3,y4，2个变量的3个代数方程。

当取y3为变量，y4，及方程各系数为参量，由此选取2个互不相依的代数方程，逐次降幂直到：

y3=-(y4^8+2y4^6b3+2y4^5b2+y4^4(b3^2+b1)+y4^3(2b3b2+b0)+y4^2(b2^2+b1b3)

+y4(b1b2+b3b0)+b2 b0)

/(y4^7+2y4^5b3+y4^4b2+y4^3(b3^2+b1)+y4^2(b2b3+b0)+y4b1b3+b3b0)

并在此过程中，已得到：y4^5+y4^3b3+y4^2b2+y4b1+b0=0,           (1”)

(实际上，就是表明：方程的根y4是满足原方程的)

而使上式简化为：

y3=-(y4^3+y4b3+b2)/(y4^2+b3) ,                                   (d)

(具体表明：y4次数高于3次的，都可由相应的不高于3次的各项表达)

即得：仅由y4，及方程各系数表达的y3。

由(1”)、(d)得到仅有y4为变量的2个互不相依的代数方程。

当取y4为变量，方程各系数为参量，的2个互不相依的代数方程，就必然可以联立逐次降幂直到y4的1次方，而得解：

y4B(1,1)+B(1,0)=0,                                                 （2”）

其中，

B(1,1) = B’(2,2) B(2,1)- B(2,2) B’(2,1)，

B(1,0) = B’(2,2) B(2,0)- B(2,2) B’(2,0)，

B’(2,2) = (B(2,2)B(3,2)-B(3,3)B(2,1)),

B’(2,1) = (B(2,2)B(3,1)-B(3,3)B(2,0)),

B’(2,0) = B(2,2)B(3,0),

B(2,2) = (B’(3,3)B(3,2)- B(3,3)B’(3,2)),

B(2,1) = (B’(3,3)B(3,1)- B(3,3)B’(3,1)),

B(2,0) = (B’(3,3)B(3,0)- B(3,3)B’(3,0)),

B’(3,3) = (27b3^11-18b3^9b1+39b3^8b2^2+b3^7(-39b2b0-15b1^2)

+18b3^6b2^2b1+b3^5(+6b1^3+10b2^4)+b3^4 (-25b2^3b0+b2^2b1^2)

+b3^3(6b2^3b2b1+12b2^2b0^2+3b1^4+8b1b2^4)

+b3^2(2b2^2b1^3+4b2^6)-4b3b2^5b0+2b3b2^4b1^2  

+2b2^5b2b1+4b2^4b0^2+ b2^2b1^4)

B’(3,2) = (27b3^10b2-9b3^9b0+b3^7(30b2^3-15b1b0)

+b3^6(-24b2^2b0+9b2b1^2)+b3^5(3b1^2b0+12b1b2^3+3b2b0^2)                    

+b3^4(10b2^5-5b2^2b1b0)

-b3^3(6b2b1b0^2+24b2^3b1^2+7b2^4b0+6b1^3b0)

+b3^2(4b2^5b1+3b2^2b1^2b0+b2^3b0^2)+b3(b2^7-2b2^4b1b0)

-2b2^6b0+5b2^5b1^2+2b2^3b1b0^2-2b2^3b1b0^2+2b2^2b1^3b0),

B’(3,1) = (27b3^10b1+b3^8(9b2b0-b1^2)+b3^7(30b2^2b1-9b0^2)

+b3^6(-9b1^3)+b3^5(6b1^2b2^2+3b1b0^2+6b2^3b0)

+b3^4 (10b2^4b1-6^2b0^2)+b3^3(+12b2^2b1^3-3b1^2b0^2+6b2b0^3)

+b3^2(b2^5b0+3b2^4b1^2+b2^2b1b0^2)+b3(b2^6b1-b2^4b0^2)

+3b2^4b1^3+2b2^3b0^3+b2^2b1^2b0^2).

B’(3,0) = 27b3^10b0-9b3^8b1b0+30b3^7b2^2b0

+b3^6(-9b1^2b0-18b2b0^2)+6b3^5b1b2^2b0

+10b3^4b2^4b0+b3^3(-7b2^3b0^2+6b2^2b1^2b0)

+3b3^2b2^4b1b0+b3b2^6b0

-2b2^5b0^2+3b2^4b1^2b0,

B(3,3) = (9b3^7 -3b3^5b1+7b3^4b2^2-b3^3(6b2b0+3b1^2)+3b3^2b2^2b1+b3b2^4

-2b2^3b0+3b2^2b1^2),

B(3,2) =(9b3^6b2-3b3^5b0+b3^4b2b1+b3^3(3b2^3-6b1b0+3b2^3)

+b3^2(b2^2b0+3b2b1^2)+b2^5+2b2^2b1b0 +2b2b1^3),

B(3,1) = (9b3^6b1+b3^4b2b0+b3^3(6b2^2b1-3b0^2),

+4b3^2b2b1b0+b2^4b1-b2^2b0^2+4b2b1^2b0)

B(3,0) =9b3^6b0+6b3^3b2^2b0+b3^2b2b0^2+b2^4b0+2b2b1b0^2,  

它们都只是方程各系数的有理函数。

   而有：

y4= - B(1,0)/B(1,1),                                            (e)

即得：仅由方程各系数表达的y4。

将(e)逐次代入(d)、(c)、(b)、(a)，

即得：仅由方程各系数有理运算表达的y4、y3、y2、y1、y0,方程的全部5个解。

   对于任意5次不可约代数方程只要将其各系数代入(e)、(d)、(c)、(b)、(a)，各式，即得其各解。

这就具体给出了任意5次不可约代数方程的公式解。而且，这些解都是根本不引进任何根式，仅由其各系数的有理运算表达的公式解，也与正确理解的伽罗华的理论并不矛盾。

4. 引进适当个数参量将方程表达为两个因式乘积的解法(本文的创新)

当n >1，可由变换：y=x+ a[n-1]/n，将(2.1) 变换为：

(y-a[n-1]/n)^n+{a[j]^j(y-a[n-1]/n)^j; j=0到n-1求和}=0,                       (4.1’)

即得：

y^n+{b[j]y^j ; j=0到n-2求和}=0,                                         (4.1”)

其中，b[n-1]=0，

当为偶数，可引入如下n个参量：s[0],s[1],..., s[n/2-1], t[0],t[1],..., t[n/2-1],，将方程改写为：

(y^(n/2)+s[n/2-1]y^(n/2-1)+...+s[1]y+ s[0])(y^(n/2)+t[n/2-1]y^(n/2-1)+...+t[1]y+t[0])=0,有：

s[n/2-1]t[0]+t[n/2-1]s[0]=0,

s[n/2-2]t[0]+t[n/2-2]s[0]+s[n/2-1]t[1]+t[n/2-1]s[1]=b[n/2-2],

s[n/2-3]t[0]+t[n/2-3]s[0]+s[n/2-2]t[1]+t[n/2-2]s[1]+s[n/2-]t[2]+t[n/2-1]s[2]=b[n/2-2],

...   ...   ...

s[0]t[0]=b[0],

当为奇数，可引入如下n+1个参量：s[0],s[1],...,s[n/2], t[0],t[1],..., t[n/2-1],，将方程改写为：

(y^((n+1)/2)+s[n/2-1]y^(n/2-1)+...+s[1]y+ s[0])(y^(n/2)+t[n/2-1]y^(n/2-1)+...+t[1]y+t[0])=0,有：

s[n/2-1]t[0] =0,

s[n/2-2]t[0]+t[n/2-2]s[0]+s[n/2-1]t[1]+t[n/2-1]s[1]=b[n/2-1],

s[n/2-3]t[0]+t[n/2-3]s[0]+s[n/2-2]t[1]+t[n/2-2]s[1]+s[n/2-]t[2]+t[n/2-1]s[2]=b[n/2-2],

...   ...   ...

s[0]t[0]=b[0],

   即各自都有与参量数相同的方程数，各参数都可顺序解得由其后的各参数表达，而最后参量的两个方程就都可得解，当方程的次数较高时，可交替降幂而得解，于是得到各参数的解。例如：

4,1. 2次方程：x^2+a1x+a0=0,

引进s，t两个参量将方程表达为：

(x+s)(x+t)=0,   有：

s+t=a1,  st=a0,

(s+t)^2=s^2+2st+t^2=a1^2,

a1^2-4a0=s^2-2st+t^2=(s-t)^2,

s-t=(+,-)(a1^2-4a0)^(1/2)，即得解：

x1=-s=(a1(+,-)(a1^2-4a0)^(1/2))/2,

x2=-t=(a1(-,+)(a1^2-4a0)^(1/2))/2,

   仍须，也只需，引入2次根式。也与正确理解的伽罗华的理论并不矛盾。

作为特例：

方程：x^2+x+1=0, 的解为：

w1=(-1(+,-)i 3^(1/2))/2,

w2=(-1(-,+)i 3^(1/2))/2,

4.2. 3次方程：x^3+a1x+a0=0,

引进s1,s0, t0, 3个参量将方程表达为：

(x^2+s1x+s0)(x+t0)=0,   有：

s1+t0=0,      s1=-t0,

s0t0=a0,      s0=a0/t0,

s1t0+s0=a1,   s1 =(a1-s0)/t0 =(a1-a0/t0)/t0,  t0^3+a1t0-a0=0,

采用与(2.2.2)解法类似地t0的3个根，解得：

t00=(a0/2+((a0/2)^2+(a1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(a0/2-((a0/2)^2+(a1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

t01=w1(a0/2+((a0/2)^2+(a1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+w2(a0/2-((a0/2)^2+(a1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

t02=w2(a0/2+((b0/2)^2+(a1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+w1(a0/2-((b0/2)^2+(a1/3)^3)^(1/2))^(1/3)，

于是，解得任意的3次t0方程的根式解。

而任意的3次x方程的根式解为：

x=-t0,

   可见，任意的2次和3次x方程的解都仍需引进各自相应的根式才能求得公式解。而它们引进的根式都不大于3次。也与正确理解的伽罗华的理论并不矛盾。

4.3.任意4次不可约方程：x^4+{ajx^j ; j=0到3求和}=0，           (4.3.1)

   由变换：y=x+a[3]/4，将(2.3.1)变换为：

y^4+{bj y^j; j=0到2求和}=0,                                         (4.3.1”)

其中，b3=0，还可引进参量s1,s0, t1,t0，将 (3.1”)写为：

(y^2+s1y+s0)(y^2+t1y+t0)=0，有：

s1+t1=0,          s1=-t1,           s1=b1/(t0-b0/t0),

s0t0=b0,          s0=b0/t0,        s0=b0/(b2/t0(+,-)((b2^2-b0)^(1/2))

s1t0+s0t1=b1,      -t1t0+t1b0/t0=b1,  t1= b1/(-t0+ b0/t0)

s0+t0=b2,         b0/t0+t0=b2,     t0^2-b2t0+b0=0,  t0=b2/2(+,-)((b2^2-b0)^(1/2)

即得到仅以方程各系数的根式函数表达的s1,s0, t1,t0，其中，s0,,t0分别有2个不同的值，但分别代入后，的结果应是相同的。

分别解得：

y^2+s1y+s0=0,

y^2+t1y+t0=0，

2个方程的各2个解，即得4次方程的仅以方程各系数的根式函数表达的4个解。

   其中，根式的指数仅为2。也与正确理解的伽罗华的理论并不矛盾。

4.4. 任意5次不可约方程：y^5+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0,                                       (4,4.1”)

  引进参量s1,s0,t1,t0, 可将(4.1”)改写为：(合理的4个方程，4个未知数)

(y^3+s1y+s0)(y^2+t1y+t0)=0,有：

t0+s1=b3,     t0 =b3-s1,

s0t0=b0,      s0=b0/t0,      s0=b0/(b3-s1),

s0+s1t1=b2,   t1s1=(b2-s0),  t1s1^2-(t1b3+b2)s1+b2b3-b0=0,                   (1)

s1t0+s0t1=b1,  s1t0=b1-s0t1, t1s1^3-2t1b3s1^2+ t1(b3^2+b1)s1-(t1b1b3-b0)=0,    (2)

  由(1)、(2) 对s1逐次降幂，得到：

s1=-(b1b3t1^2-(b2b3^2-b0b3+b0)t1–b2^2b3+b2b0)/(-b1t1^2+(b2b3-b0)t1–b2^2),     (3)

(b1b2^2b3^3+(b0b1b2+b0b1)b3^2+b0^2b1b3+b0b1^2b2-b0^2b1)t1^4

+(-b2^3b3^4+(3b1-2b0+b0)b2^2b3^3

-(2b1b2^3 +b0b2^2+b0(1+2b1)b2-b0^2(2b2+1))b3^2

+(b0^2(-2b2+b1-1)-b0b1b2^2)b3

-b0b1b2^2+b0^2b1(4b2+1))t1^3

+(-3b2^3b3^4+(b2^4++5b0b2^2)b3^3-(3b0b2^3+3b0^2b2+4b0b2^2)b3^2

-(2b1b2^4-b0b2^3-2b0^2b2-b0^3)b3+3b0b1b2^3-b0^2b2^2+2b0^3b2-b0^2b2)t1^2

+(-3b2^4b3^3+5b0b2^3b3^2-(4b0b2^4+2b0b2^3+3b0^2b2^2)b3

-b0b2^4+2b0^2b2^3+4b0^2b2^2+b0^3b2)t1

-(2b2^6b3-2b0b2^5)=0,                                                 (4)

由(4)可按t1的4次方程解得t1，或由(4)与(3),消去s1，得到另一个t1的方程，与(4)对t1逐次降幂，解得t1，并求得其它各参量，而按x的3次和2次方程，解得x的5次方程。

其中，也都只含有2次和3次的根式。也与正确理解的伽罗华的理论并不矛盾。

4.5.．任何高次不可约代数方程的根式解(本文的创新)

综上所述，早已解得：2至4次不可约代数方程的根式解，本文又已用多种方法具体求得：5和6次不可约代数方程的公式解和根式解，再类推到更高次，即可逐次解得任何高次不可约代数方程的公式解和根式解。

而且，它们都不含大于3次的根式解。因而，它们的解也都不违反本文正确理解

的伽罗华理论。

5．参考文献：

[1]数学百科全书编委（顾问）苏步青等（主任）王元等科学出版社 1994

[2]Basic algebra 1-2 Jacobson, N. Freeman 1974-1980

[3] Algebra 1-2 B.I. Van Der Waerden Springer-Verleg  1955-1959