关于“数学”的对话（111）关于“费马大定律”的科普对话（7）

（接（110））

 

乙：为什么要把正整数函数表达为这样两种形式呢？

甲：你可以看到：这两种形式都分别有，且仅有，不同的“两项”，就可以利用2项式，具体表达它们的任意次方。而且，还只有这两种形式，才能表达所有可能的正整数的函数，而才能有利于证明这个“费马大定律”。

乙：它们的任意次方究竟如何具体表达呢？

甲：按2项式公式，可将它们分别表达为：

按(3)，即有：

(f[1](n))^p= (g[1](n) +或-g[2](n))^p

=((g[1](n))^p+( 1)C{1,p}(g[1](n))^(p-1)g[2](n)

+( 1)^2 C{2,p} (g[1](n))^(p-2)(g[2](n))^2

+…+( 1)^(p-1) C{(p-1),p}g[1](n)(g[2](n)) ^(p-1)+( 1)^p(g[2](n))^p,  (5)

(g[1](n)+g[2](n))^p-(g[1](n)-g[2](n))^p

= 2C{1,p}(g[1](n))^(p-1)g[2](n)+2C{3,p}(g[1](n))^(p-3)(g[2](n))^3+ …

+2C{(p-1),p}g[1](n)(g[2](n))^(p-1)(p偶数)+2(g[2](n))^p(p奇数)

=2(g[1](n))g[2](n)( C{1,p}(g[1](n))^(p-2)+C{3,p}(g[1](n))^(p-4)(g[2](n))^2

+…+C{(p-1),p}(g[2](n))^(p-2))(p偶数)

或=2g[2](n)(C{1,p}(g[1](n))^(p-1)+C{3,p}(g[1](n))^(p-3)(g[2](n))^2

+…+(g[2](n))^p(p奇数) ,                        (6)

按(4)，即有：

(f (n))^p= (2g (n) +或-1)^p

=((2g(n))^p+( 1)C{1,p}(2g(n))^(p-1)+( 1)^2C{1,p}(2g (n))^(p-2)

+…+( 1)^(p-1)C{(p-1),p}(2g(n)) +( 1)^p,           (7)

(2g(n)+1)^p-(2g(n)-1)^p

= 2C{1,p}(2g(n))^(p-1)+2C{3,p}(2g(n))^(p-3) + …

+2C{(p-1),p}(2g(n))(p偶数)+2(p奇数)，

=2(2g (n))(C{1,p}(2g(n))^(p-1)+C{3,p}(2g(n))^(p-3)+…+C{(p-1),p})(p偶数)

或=2(2g (n))(C{1,p}(2g (n))^(p-1)+C{3,p}(2g (n))^(p-3)+…+1(p奇数) ,  (8)

其中C{x,p}=((p-j);j从0到x-1求积) /x!, 是从p个中取出x个的组合数。

（待续）

 

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