时空矢量的几何特性与“歌德巴赫猜想”

中国科学院 力学研究所 吴中祥

提    要

由时空长度矢量的几何特性，分析，Hardy和Littlewood合作提出的，引进复变函数，积分求解的，“圆法”、“‘a+b’筛法”诸多的积分成功=0与“1+1”的积分始终不=0。

类似地，扩展到各时空多线矢量。

关键词：时空矢量，几何特性，歌德巴赫猜想，圆法，“a+b”筛法，“1+1”

1. 时空长度矢量

早在我国战国时期，哲人[尸佼]在其著作《尸子》中写道:

“上下四方曰宇；古往今来曰宙”。

就辩证唯物，精辟、全面、简明地，给出了“宇宙”，也就是“时空”的确切定义。

宇宙、时空，是向量。

上下四方，共3维，即：宇、空间，各方向都有，正、反，双向的矢量；

古往今来，仅1维，即：宙、时间，只有一个方向，不能，今往古去，只是单向的矢量，时间也是空间各维的参量。

而且，特别讲明，他所说的是4“方”，即：“正交系”。

现在我们通用的，爱因斯坦狭义相对论，表达时空长度的，闵可夫斯基r(4)[1线矢]，就是采用：“整数”的， “1”，表达空间r(j),j=1,2,3，各维+、-的双向、“虚数”的“i”，表达时间r(0)=ct的单向，c表示所在均匀介质中的光速，t表示时间。而有：

正交系，平直坐标

4维时空位置(长度、)r(4)[1线矢]

=ir(0)[0基矢]+r(j)[j基矢],j=1,2,3j求和

=ir(0)[0基矢]+r(3)[(3)基矢],

当r(3)>>r(0)，即远程，则：[0基矢]项可以忽略，就能，也才能，近似地使用经典物理学的3维空间矢量。

当r(3)<<r(0)，即近程，则：只是[0基矢]项的作用。

由时空矢量运算，还有：f(6)[2线矢]、f(12)[22,1线矢]，… ，等，高次、高维，[多线矢]。

2．时空矢量的几何特性

4维时空[1线矢]的3维空间部分，r(3)[(3)基矢]，或3维空间r(3)[1线矢]，可分别有1、2、3，维情况。

本文只考虑分别空间有2维情况。

r(2)[(2)基矢]=r(2)1[1基矢]+r(2)2[2基矢]，其模长：

r(2)={r(2)1^2+r(2)2^2}^(1/2)，有：

{(r(2)1/r(2))^2+(r(2)2/r(2))^2}^(1/2)=1，

令：r(2)1/r(2)=x/a，r(2)2/r(2)=y/b，有：

(x/a)^2+(y/b)^2=1，即：

其轨迹为：以a、b，分别为长、短，半轴，的椭圆。

当：a=b=r，成为：以r为半径的圆。

3维时空r(3)[1线矢]=ir(3)0[0基矢]+ r(3)(2)[(2)基矢]，其模长：

r(3)={-r(3)0^2+r(3)(2)^2}^(1/2)，有：

{-(r(3)0/r(3))^2+(r(3)(2)/r(3))^2}^(1/2)=1，

令：r(3)(2)/r(3)=x/a，r(3)0/r(3)=y/b，有：

(x/a)^2-(y/b)^2=1，即：

其轨迹为：以a、b，分别为长、短，半轴，的双曲线。

当：a=b=r，成为：以r为长度的双折线。

3. 时空长度矢量的微分

所谓“微分”，可简述为：无限地分出，某物理量的某些部分，乃至极限。

早在战国中期，我国哲人庄子及其后学，所著道家经文《庄子·，天下》，就有名言： “一尺之捶，日取其半，万世不竭”，意思是：一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远也截不完。形象地说明了事物具有无限可分性。

当然，我们知道任何材料的棍棒，每日取一半，到“分子”大小之后，就连材料的性质都变了，早已不是“棍棒”，但即使直到最后成为“电子或正电子”，已不能再分，也仍然是“万世竭”，仍然没有“完”，是完全正确的“论断”。

特别重要的是，这已经是“无穷小”的概念，也就是微分的确切概念！表明：早在战国中期，我国学者就在其著作中，非常明确、形象、确切，地提出了“微分”概念！

现在，我们就在任何1个数量或标量，a，前面加个“d”表示它的微分，就有微分：da，

函数的微分，就还须计及其是否连续，例如：对于df(t)/dt，就还必须考虑2个相关的无穷小量，ε、δ，

如果，从变量，t，变到t+ε，相应的函数f(t)变到f(t+ε)，而f(t+ε)-f(t)，能够=δ，函数f(t)就是“连续的”，就有函数f(t)的微分，如果，变量，在某处，tn，f(t+ε)-f(t)，不能够=某无穷小，δ，该函数f(t)的连续性就终止于该点，而其微分，仅能适用于其连续区。

4. 曲线坐标

曲线坐标，符合物体几何特性，容易选取积分条件，利于求积分！

本文只考虑空间只有2维的情况。

曲线坐标3维时空位置(长度、距离)r(3)[1线矢]

=irsinψ[0基矢]+(rcosψsinθ)[1基矢] +(rcosψcosθsinφ)[2基矢]，

其模长^2：

r(3)^2=-(rsinψ)^2+(rcosψsinθ)^2+(rcosψcosθsinφ)^2，

曲线坐标3维时空位置(长度、距离)r(3)[1线矢]的微分：dr(3)[1线矢]=d{irsinψ[0基矢]+(rcosψsinθ)[1基矢]

+(rcosψcosθsinφ)[2基矢]}

=i(drsinψ+rcosψdψ)[0基矢]+(drcosψsinθ-rsinψdψsinθ[m1] 

+rcosψcosθdθ)[1基矢]+(drcosψcosθsinφ-rsinψdψcosθsinφ

- rcosψsinθdθsinφ+rcosψcosθcosφdφ)[2基矢]，

其模长^2：

=-(drsinψ+rcosψdψ)^2+(drcosψsinθ-rsinψdψsinθ[m2] 

+rcosψcosθdθ)^2+(drcosψcosθsinφ-rsinψdψcosθsinφ

-rcosψsinθdθsinφ+rcosψcosθcosφdφ)^2

={dr+r(-sinψdψ+cosψsinθdθ+cosψcosθsinφdφ)}^2

5. 曲线坐标的积分

我国古代哲人祖冲之，就已用“截圆法”和普适化了的“勾、股、弦”定律，计算出圆周率π，精确到7位有效数字，并与其儿子共同推导得出圆体积。

对于，曲线坐标时空3维dr(3)

={dr+r(isinψdψ+cosψsinθdθ+cosψcosθsinφdφ)}^(1/2)，

注意：在各角度=0和π，此双曲线不连续，积分时，应扣除此2点！

对于一般的椭圆情况：

当θ由原点=0积分到π，r由a变到(a^2+b^2)^(1/2)；θ由π积分到2π，r由(a^2+b^2)^(1/2)变到b，φ由0积分到π，r由b变到(a^2+b^2)^(1/2)；φ由π积分到2π，r由(a^2+b^2)^(1/2)变到a积分成为椭圆周长=2π(a^2+b^2)^(1/2)，

对于，空间2维dr(2)

={dr+r(sinθdθ)+cosθsinφdφ}，

对于一般的椭圆情况：

积分为相应的椭圆周长=2π(a^2+b^2)^(1/2)

当a=b，r不变，积分为相应的圆周长=2πr

回到原点，再双曲线积分先减去r0那段长度，仅缺，

不连续的2点，再由r积分该长度r0，积分=2π(a^2+b^2-r0^2)^(1/2)。

6. 极坐标，欧拉公式

将极坐标表达的的曲线坐标时空3维dr(3),

按欧拉公式：

e^(i(r,φ))=r(cosφ+isinφ)，

e^(-ir,φ))=r(cosφ-isinφ)，

就可以表达为，相应“圆法”的复指数函数：

e^(+和-i(r(3),ψ,θ,φ))，

由第5节，已知：

对于1个e^(+和-i(r(3),ψ,θ,φ))积分，经过空间部分，θ,

φ，积分绕圆周1圈回到原点后，再双曲线部分,ψ,积分，先减去1段长度，仅缺，不连续的2点，再由r积分该长度，而回到原点，此函数的积分就=0。(注意：按第5节，曲线坐标时空3维dr(3)，却=2π(a^2+b^2-r0^2)^(1/2)。)

对于2个e^(+和-i(r(3),ψ,θ,φ))之和，积分，经过空间部分，θ1,φ1，θ2,φ2，积分绕圆周2圈回到原点后，再双折线部分,ψ1,ψ2,积分，先来回减去2个r0，仅各缺，不连续的2点d，再由r积分，1个r0，而回不到原点，积分不=0。(注意：按第5节，却是2次，曲线坐标时空3维dr(3)乘积的积分周长。)

对于3个e^(+和-i(r(3),ψ,θ,φ))之和，积分，经过空间部分，θ1,φ1，θ2,φ2，θ3,φ3，积分绕圆周3圈回到原点后，再双曲线部分,ψ1,ψ2,ψ3,积分，先来回减去3个r0，仅各缺，不连续的2点，再由r积分该1段r0，也回到原点，积分=0。(注意：按第5节，却是3次，曲线坐标时空3维dr(3)乘积的积分周长。)

可见，实际上，3个e^(+和-i(r(3),ψ,θ,φ))之和，=0，可有：“歌德巴赫猜想(A)”的类似特性，但是，2个e^(+和-i(r(3),ψ,θ,φ))之和，并无“歌德巴赫猜想(B)”的类似特性。

7. 分析“圆法”、“‘a+b’筛法”

第6节，的积分情况就是，2个“圆法”的复指数函数之和，积

分不=0，3个“圆法”的复指数函数之和，积分=0，的原因。

对于“‘a+b’筛法”，a、b，都是大于1的整数。

对于较大的，a、b，总可较容易地，经过适当的组合、变换，组成相应的3个e^(+和-i(r(3),ψ,θ,φ))之和，而能积分=0，直到“1+2”也由陈景润得到积分=0，的证明。

而“1+1”，就只能是2个e^(+和-i(r(3),ψ,θ,φ))之和，而

不能积分=0，证明不了歌德巴赫猜想(B)。

8. 4维时空[1线矢]，及其时空矢算，形成的各多维[多线矢]

对于，4维时空[1线矢]、6维时空[2线矢]，12维时空[22,1线矢]，… ，都有各自相应的面、体、时空，的几何特性，采用极坐标、运用相应扩展的欧拉公式，对于各种，平直坐标、曲线坐标混用的，锥、台，晶体(元包)，等(此等情况，平直坐标的初始、边界条件也容易确定)，几何特性，都可表达为各自相应的，复指数函数微分，也都有类似的积分=0，和，不=0，的特性。

 [m1]

 [m2]